独立覆盖流形法是偏微分方程数值计算的新方法,在近似函数构造的基础层面上形成了偏微分方程的“分区级数解”,实现了有限元法及一些新方法的主要分析功能,在网格划分的灵活性、计算稳定性等方面还具有一些独特优势,但也意味着其计算公式和程序设计不同于现有方法。总结了近年来该方法在固体计算中的主要研究成果,归纳了一套简洁的通用计算公式,局部近似函数中的形函数表达为单位分解函数、坐标转换矩阵和级数矩阵的乘积,具体讨论了各种情况下的形函数及其求导方法,给出各种矩阵的表达式以及时间积分方法,用于求解弹性力学运动微分方程、传导方程、波动方程,包括一维至三维的稳态和瞬态分析和三类边界条件,涵盖了高阶级数、任意形状网格、精确几何边界模拟及本质边界条件的准确施加、裂纹尖端附近采用解析级数等特色功能。利用这些公式即可开展独立覆盖流形法通用程序的开发工作。

在独立覆盖流形法通用计算公式的基础上,给出了计算程序的整体流程。对一维至三维各种几何形体(包括分区、条带和边界面)的积分方式进行总结,基于点、线、面、体的单纯形几何元素开发积分程序,实现网格形状的通用性。提出将积分模块与被积函数模块分开考虑的编程思路,然后再将两者任意组合,使程序具备了扩展性,有望实现偏微分方程求解的通用性。通过级数公式和相应的各种坐标以及坐标转换矩阵、级数矩阵的确定,实现了级数的通用性。所有计算参数都可以通过用户子程序输入公式,实现输入参数的通用性。最终可用较少的程序代码,实现弹性力学运动微分方程、传导方程、波动方程的一维至三维稳态和瞬态分析(含一类至三类边界条件)。

在前两篇提出的通用计算公式、通用程序设计方法的基础上,通过求解弹性力学运动微分方程、传导方程、波动方程(含稳态和瞬态分析),给出了一至三维包括位移场、温度场、渗流场、声场、静电场和势流场等算例进行全面验证,涵盖了任意形状和任意连接的网格、精确几何边界的模拟及本质边界条件的准确施加、高阶级数逼近、裂纹尖端附近解析级数的应用等独立覆盖流形法的特色功能。最后对全文进行总结,并提出“级数流形元(级数元)”的新名称。

薄梁板壳的数值计算涉及关于挠度的4阶微分方程,其困难在于构造C₁连续的近似函数;同时,由于薄曲梁和曲壳控制方程的复杂性,通常用直梁或平板单元近似地模拟曲梁或曲壳,容易产生几何误差进而带来力学分析上的误差。前期研究采用独立覆盖流形法实现了基于厚梁板壳假设的精确几何曲梁和曲壳分析,本文在此基础上讨论了这种新型流形法的分区级数解的C₁连续性,完成了基于Euler-Bernoulli梁理论和Kirchhoff-Love板壳理论的精确几何薄曲梁和曲壳分析,并解决了几何公式推导复杂的问题。详细给出了薄曲梁的计算公式,简述了薄曲壳的计算过程,将前期文献中的算例在薄梁板壳假设下重新计算,验证了方法的有效性,相比厚梁板壳假设可节省约30%的自由度。研究成果同时展示了应用独立覆盖流形法求解4阶微分方程的潜力。

有限元计算中,板壳单元与实体单元之间的连接需要进行特殊处理,且两者在连接处的网格必须匹配。前期基于独立覆盖流形法提出了梁板壳数值分析的分区级数解。在此基础上,研究了板壳与实体单元的刚性连接。由于板壳也采用了实体计算模式,因此与实体之间通过覆盖重叠区域自然连接。基于覆盖任意连接的特性,将板壳插入到实体中形成覆盖重叠区域。实体单元和板壳单元可以各自划分网格,在连接处不必要求网格匹配,有利于前处理工作,在网格划分达到一定密度的情况下能得到高精度的计算结果。通过变截面的悬臂梁算例、球面壳与实体基座连接算例,验证了方法的有效性,并初步展示了曲壳与实体相交曲线的精确几何。此外,还修正了新方法的三维弹性矩阵。

采用独立覆盖流形法(基于流形思想的“分区级数解”),提出在空间固定的网格中求解几何非线性问题的新方法:在当前构形中关注经过各空间点的物质点,通过级数“逆向追踪”物质点在上一时步的位置及其应力、速度等物理量,并采用最小二乘法形成新级数作为当前时步的初值,就可以在固定网格中求解拉格朗日型的控制方程;每步计算后更新材料体构形,即更新固定网格(独立覆盖)中的积分区域,以得到准确的材料边界;以覆盖合并方式处理边界网格中的“小块”问题,并通过“小块”实现新网格的信息传递。给出弹性体大变形、刚体旋转算例验证方法的有效性。新方法集合了拉格朗日法的跟踪物质点、控制方程简单、边界描述准确以及欧拉法的网格无扭曲的优点,避免了2种方法各自的缺陷,为下一步在固定网格中进行几何非线性的自适应分析打下基础。

采用前期提出的独立覆盖流形法,提出梁的独立覆盖分析方法。该方法的特点是:与实体分析采用同一模式,可以应用完全多项式的覆盖函数进行梁的实体分析,或使多项式中的某些项不参与计算来模拟梁的基本假设,从而实现Timoshenko梁和Euler-Bernoulli梁的计算;仅要求近似场函数的C₀连续性;避免了Timoshenko梁在求解细长梁时的剪切自锁;即使对于实体分析而言,通常情况下也不存在由于梁高远小于梁长而导致的数值病态。为体现梁结构的特点,以二维的矩形截面梁为例,给出了局部坐标系下的独立覆盖流形法公式,以及“先截面、后轴向”的积分方式,并用几个算例验证了方法的有效性。本思路可以直接推广到求解三维问题,为梁板壳分析提供全新的途径。

在前期研究的直梁的独立覆盖分析方法基础上,提出曲梁的独立覆盖分析方法。采用实体分析模式,只需使多项式覆盖函数中的某些项不参与计算,就能模拟梁的基本假设,从而避免了推导曲梁控制方程及相应数值计算公式的复杂性。借助随中面参数方程变化的局部坐标系,并计算该坐标系的局部坐标和方向余弦关于整体坐标的导数,就能实现精确几何描述下的曲梁分析。采用常曲率的一段圆形曲梁和变曲率的一段椭圆形曲梁的算例,验证了方法的可行性。研究方法为曲梁和下一步的曲壳分析提供了全新的途径,也是除了等几何分析方法之外的实现几何保形性的新方式。

在前期研究的直梁和曲梁分析新方法的基础上,提出了基于独立覆盖流形法的曲壳分析方法。采用实体分析模式,只需使多项式覆盖函数中的某些项不参与计算,就能准确模拟三维平板和曲壳的Reissner-Mindlin假设,从而避免了推导曲壳控制方程及相应数值计算公式的复杂性。借助随中面参数方程变化的局部坐标系,并计算该坐标系的局部坐标和方向余弦关于整体坐标的导数,就能实现精确几何描述下的曲壳分析。给出了具体计算过程,包括刚度矩阵积分方式,以及相关的曲壳几何计算公式。通过球面壳和平板算例,验证了方法的收敛性。最后,结合前期的二维直梁和曲梁研究,以及本文的三维曲壳和平板研究,总结了基于独立覆盖流形法的梁板壳分析新方法的特点和优势,特别是彻底解决了自锁问题。

采用前期笔者提出的独立覆盖流形法,尝试CAD和CAE融合的新途径。以二维结构的线弹性静力分析为例,实现从CAD到CAE的无缝连接,以及CAE的完全自动化分析。在基于前期CAD几何的流形法研究基础上,给出NURBS曲线(CAD中的通用图形标准)与直线的切割算法,实现CAD几何模型在CAE建模和网格细化中的保形性;通过AutoCAD的DXF图形格式,将CAD中的结构形状、荷载及约束信息直接输出到CAE;基于矩形独立覆盖的自适应分析技术,实现结构静力分析的自动化计算;自动生成有限元网格用于计算结果后处理的图形输出。综合以上研究,用一个二维结构静力分析算例演示了从CAD几何建模和输出,到CAE的自动前处理、自动分析、自动后处理的完整过程,所有的人工操作仅限于CAD中,而CAE分析过程无需人工参与,就可以获得满足设定精度的计算结果。

目前,数值流形方法、无网格法等新的数值计算方法存在本质边界条件不易严格施加的问题。针对笔者前期提出的独立覆盖流形法,通过一个悬臂梁的例子,系统地分析了本质边界条件施加问题。采用多项式覆盖函数,提出了改进边界覆盖函数和直接设定独立覆盖函数2种方法,不仅严格满足边界条件,而且能保证边界附近的近似函数逼近真实解。这2种方法避免了常用罚函数法中的罚数取值对计算结果和方程性态的影响问题,而且只需令部分自由度不参与计算就能实现,操作简单。通过设置覆盖函数来施加边界条件的方式可供其他新方法借鉴。

在应用独立覆盖流形法进行自适应分析的前期研究中,发现独立覆盖内部误差不易控制的问题,基于此,提出独立覆盖误差分析的子模型法。在单独的独立覆盖内进行覆盖函数的升阶操作,通过高、低阶之间的相对误差获得独立覆盖内部的逐点误差指标。详细介绍了子模型法的实施步骤,用重力坝算例验证了该方法能有效控制独立覆盖内部误差,不仅解决了目前存在的问题,还为将来实现逐点的误差控制打下基础。最后对独立覆盖流形法的收敛原理及误差控制方法进行了初步的理论分析和讨论。

针对前期提出的基于部分重叠覆盖的数值流形方法,将其内涵范围缩小,仅研究其中的一种情况——基于独立覆盖的数值流形方法。从完备性和协调性2个方面讨论该方法的收敛性,特别强调其收敛性是基于各个独立覆盖的逼近而建立起来的,独立覆盖之间条形连接区域的尺寸要取小,并由此推断及用实例说明,覆盖网格可以具备“3个任意”的优良特性——任意形状、任意连接以及由此而来的可任意加密的能力,从而有望使数值计算的前处理工作大为简化。

计算机辅助工程中的设计—分析—再设计的反复过程,蕴含着计算机辅助设计(CAD)与计算机辅助工程分析(CAE)相融合的迫切需求。提出基于CAD几何的数值流形方法:按照CAE真实物理场分布的复杂程度来布置数学网格和设置近似函数阶次,比等几何分析方法更合理;只需引入自动且快速的切割操作,就能实现CAD模型进入CAE后无需修改而直接建模;针对以往的流形法需要将曲线边界离散成折线的问题,给出了曲线边界与网格直边的切割算法,实现了几何模型在CAE建模和网格细化中的保形性;针对流形法通常使用的多项式近似函数,推导了曲线“近似”单纯形的解析积分公式并应用于带有曲线边界的流形元的精确积分运算;最后通过平板内的圆孔算例验证了方法的可行性。该方法对CAD和CAE的融合提出了全新的思路,为实现CAD进入CAE后的自动化分析打下了基础。

采用前期研究的基于矩形独立覆盖的新型数值流形法,提出结构线弹性静力分析的自动计算方法,包括自动的前处理、自适应分析等。根据独立覆盖的特点提出几个后验误差指标:独立覆盖之间条形连接区域的应变连续性指标;边界应力指标和独立覆盖的高阶误差指标。利用新方法的h型网格加密及p型升阶的方便性,选择一种路径尝试h-p型的混合自适应,其中,对于矩形独立覆盖采用简单的二分法实现覆盖加密。通过几个二维算例验证了新方法实现自动计算的可行性,只需人工输入结构外形、材料参数和边界条件,其它工作完全交由计算机完成,最终得到满足一定精度的计算结果。