长江科学院院报

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2024 , Vol. 41 >Issue 9: 106 - 113

DOI: https://doi.org/10.11988/ckyyb.20230536

岩土工程

基于分形理论的多孔介质渗透注浆机制

  • 侯晓萍 , 1, 2 ,
  • 莫浩 1 ,
  • 赵卫全 3 ,
  • 黄勇 4
展开
  • 1 西北农林科技大学 水利与建筑工程学院,陕西 杨凌 712100
  • 2 西北农林科技大学 旱区农业水土工程教育部重点实验室,陕西 杨凌 712100
  • 3 中国水利水电科学研究院,北京 100038
  • 4 广东省水利电力勘测设计研究院有限公司,广州 510635

侯晓萍(1989-),女,山西运城,讲师,博士,主要从事水工结构及岩土工程数值仿真方面的研究。E-mail:

Copy editor: 王慰

收稿日期: 2023-05-17

  修回日期: 2023-08-15

  网络出版日期: 2023-11-01

基金资助

中国水利水电科学研究院研发专项(EM0145B022021)

收起

Infiltration Grouting Mechanism in Porous Media Based on Fractal Theory

  • HOU Xiao-ping , 1, 2 ,
  • MO Hao 1 ,
  • ZHAO Wei-quan 3 ,
  • HUANG Yong 4
Expand
  • 1 College of Water Resources and Architectural Engineering, Northwest A & F University,Yangling 712100,China
  • 2 Key Laboratory of Ministry of Education on Agricultural Soil and Water Engineering in Arid andSemiarid Areas, Northwest A & F University, Yangling 712100, China
  • 3 China Institute of Water Resourcesand Hydropower Research, Beijing 100038, China
  • 4 Guangdong Hydropower Planning & Design Institute,Guangdong 510635, China

Received date: 2023-05-17

  Revised date: 2023-08-15

  Online published: 2023-11-01

Fold

摘要

为研究宾汉姆浆液在多孔介质地层的渗透注浆机制,基于分形理论、毛细管模型和宾汉姆浆液流变方程,推导了基于分形理论的宾汉姆浆液渗透扩散表观速度公式和多孔介质渗透注浆球形扩散公式;利用已有的理论模型和室内渗透注浆试验成果对推导的理论公式进行了对比、分析和验证。研究结果表明:与传统的宾汉姆浆液渗透注浆扩散公式相比,基于分形理论的多孔介质渗透注浆扩散公式获得的浆液扩散半径更接近于室内试验成果。该研究成果可为实际多孔介质地层注浆工程提供一定的理论支撑。

关键词： 多孔介质; 宾汉姆浆液; 分形理论; 渗透注浆; 表观速度; 扩散距离

本文引用格式

侯晓萍 , 莫浩 , 赵卫全 , 黄勇 . 基于分形理论的多孔介质渗透注浆机制[J]. 长江科学院院报, 2024 , 41(9) : 106 -113 . DOI: 10.11988/ckyyb.20230536

Abstract

To investigate the infiltration grouting mechanism of Bingham fluid in porous media, we derived formulas for calculating the apparent velocity of infiltration diffusion and the spherical infiltration grouting diffusion distance of Bingham fluid in porous media based on the fractal theory, the capillary model, and the rheological equation of Bingham fluid. We compared and validated the theoretical formulas against existing models and laboratory grouting tests. The results indicate that the diffusion radius of the grout calculated using the fractal theory-based formulas aligns more closely with experimental data compared to conventional Bingham fluid infiltration grouting formulas. These findings offer valuable theoretical support for practical grouting applications in porous media strata.

Key words： porous media; Bingham fluid; fractal theory; infiltration grouting; apparent velocity; diffusion distance

开放科学(资源服务)标识码(OSID):

0 引言

水泥浆液注浆以低成本、低污染的优势广泛应用于城市隧道、地铁、矿山和水利工程等施工中[1]。在多孔介质地层加固中,浆液以渗透扩散为主,并不破坏土体的原有结构,渗透注浆技术也是最常用的注浆技术之一。
目前,各国学者对水泥浆液在多孔介质地层中的渗透注浆扩散理论做了许多研究,并取得了丰富的成果。1938年,Maag推导了牛顿浆液在砂土中的渗透注浆扩散公式[2],该公式至今仍被广泛使用;Saada等[3]、Kim等[4]、李术才等[5]研究了渗滤效应对多孔介质渗透扩散过程的影响;杨秀竹等[6]基于广义达西定律,研究了宾汉姆浆液在砂土中的渗透注浆扩散机制;杨志全等[7-8]建立了考虑浆液时变性的宾汉姆浆液柱-半球形渗透注浆扩散模型和幂律浆液的柱形渗透注浆扩散模型;张聪等[9]研究了脉动压力下宾汉姆浆液渗透注浆扩散机制;张庆松等[10]、路乔等[11]指出浆液在多孔介质中的渗透扩散路径具有迂回曲折效应,并分别建立了考虑扩散路径的牛顿浆液和宾汉姆浆液渗透注浆扩散公式。
上述研究推动了多孔介质渗透注浆理论的发展,但仍存在以下问题,如所建立的渗透注浆扩散公式要么假设浆液的扩散路径为直线,要么在考虑浆液扩散路径时采用了依赖于工程经验的土颗粒直径、形状等几何参数[2],且对计算结果的影响较大,也难以满足注浆工程实践的需求。因此,建立一个能符合大多数多孔介质地层浆液渗透扩散规律的公式十分必要。自分形理论发展以来,关于裂隙岩体注浆[12]、粗糙裂隙渗流[13]、多孔介质热传递[14]等问题的研究层出不穷,但围绕多孔介质渗透注浆扩散理论的研究较少。
本文利用分形理论能清晰描述土体细观特性和宏观性质的优点,以工程上广泛使用的宾汉姆浆液为研究对象,建立考虑土体孔隙分形维数、迂曲度、最大孔隙直径的宾汉姆浆液渗透注浆扩散公式;紧密联系工程实践,将公式中难以度量的最大孔隙直径采用易于测量的渗透系数表示,提高该公式的实用性;最后,通过两组室内试验成果验证该公式的准确性。

1 基于分形理论的多孔介质渗透注浆扩散模型

1.1 基本假设

(1)多孔介质为均质、各向同性材料。
(2)浆液流型为宾汉姆型,注入过程中忽略浆液的时变性,且流型不变。
(3)浆液与地下水不混融,浆液为驱替扩散。
(4)浆液以点源的形式注入地层,忽略重力的影响,呈球形扩散。
图1为多孔介质中浆液球形渗透扩散示意图,图中L0为注浆管半径,L1为浆液最大扩散半径,pw为外部水压力,L为L0与L1之间任意位置处的扩散距离,dL为径向距离为L处的薄壁空心球体厚度。
图1 宾汉姆浆液在多孔介质中的球形渗透扩散模型

Fig.1 Spherical infiltration diffusion model of Bingham fluid in porous media

1.2 多孔介质孔隙数目

1985年,Katz等[15]基于对砂石类多孔介质的大量研究,证明了砂性地层多孔介质的孔隙呈现出自相似的分形标度律。Yu等[16-17]提出在多孔介质的一个代表性单元A0中(图2),孔隙的累计数量和分形对象的大小遵循分形标度律,可以表示为
N ε > λ = λ m a x / λ D f 　 。
图2 多孔介质分形毛管束模型示意

注:Le为浆液实际渗透扩散路径长度。

Fig.2 Fractal capillary bundle model of porous media

式中:N为孔隙累计数;ε为孔隙直径的长度尺度;λ为孔隙直径;λmax为最大孔隙直径;Df为孔隙分形维数,在二维空间中0≤Df≤2,在三维空间中0≤Df≤3。由于砂土地层的孔隙分布较为均匀,同时为了避免复杂的三维孔隙路径对分析造成影响,将垂直于浆液扩散方向的球面视为由众多二维代表性单元组成的面,而无数个沿着径向由小到大的球面构成了最终形成的注浆结石体,故取0≤Df≤ 2。
由于每一个球面都拥有数目众多的孔隙,故式(1)可视为连续可微函数,对式(1)两边求微分,可得
d N = - D f λ m a x D f λ - ( D f + 1 ) d λ 　 。
在代表性单元A0中,孔隙面积SA可以通过积分求得,即
S A = - ∫ λ m i n λ m a x π λ 2 4 d N = π D f λ m a x 2 4 2 - D f 1 - λ m i n λ m a x 2 - D f 。
设代表性单元的面孔隙率为φ,则代表性单元内总孔隙面积A0可以写为
A 0 = S A φ = π D f λ m a x 2 4 2 - D f φ 1 - λ m i n λ m a x 2 - D f 　 。
Yu等[16-17]基于精确自相似的二维Sierpinski三角垫得到多孔介质面孔隙率和分形维数的关系,即
φ = λ m i n / λ m a x d E - D f 　 。
式中dE为欧氏常数,在二维空间中,dE=2,在三维空间中,dE=3。如前所述,本文是对二维平面内的代表性单元进行分形分析,故dE=2。
将式(5)代入式(4)可得代表性单元面积A0为
A 0 = 1 - φ φ π D f λ m a x 2 4 2 - D f 　 。
随着距注浆孔的径向距离L逐渐增大,球面上的孔隙数量也逐渐增加。在距离注浆孔L处的球面上,总孔隙数量NL可以表示为
N L = A L A 0 N = 4 π L 2 A 0 λ m a x λ D f 　 。
式中:NL为距离注浆孔L处的球面总孔隙数目;AL为距离注浆孔L处的球面面积(m2)。
同理,对式(7)两边求微分,可得
d N L = - 4 π L 2 A 0 D f λ m a x D f λ - ( D f + 1 ) d λ 　 。

1.3 面孔隙率与体孔隙率

在距离注浆孔距离为L的球面上,总孔隙面积SL可由式(9)求出。
S L = - ∫ λ m i n λ m a x π λ 2 4 d N L 　 。
将式(5)和式(8)代入式(9),可以求出半径L处球面上的总孔隙面积为
S L = 1 - φ π 2 L 2 D f λ m a x 2 2 - D f A 0 　 。
因此在半径为L的球面上,面孔隙率φ可写为
φ = S L S q = 1 - φ π D f λ m a x 2 4 2 - D f A 0 　 。
式中Sq为半径为L处的球面面积(m2),即Sq= 4πL2。
浆液在多孔介质中流动时,实际运动轨迹不是一条直线(图2),浆液的实际渗透扩散距离Le大于其在宏观压力梯度上扩散的直线距离L。使用迂曲度Γ来描述浆液在多孔介质中的迂回曲折效应,即
Γ = L e L - L 0 　 。
对于任何一个由众多孔隙组成的毛细管,式(12)是可微的,可写为
d L e = Γ d L 　 。
为了计算半径L处的体孔隙率ϕ,在距离注浆孔L处取一个垂直于径向且具有极薄厚度的空心球体,其厚度为dL,孔隙总体积VL可写为
V L = - ∫ λ m i n λ m a x π λ 4 d L e d N L 　 。
将式(5)和式(8)代入式(14),可以得到在半径L处的孔隙总体积为
V L = 1 - φ π 2 L 2 D f λ m a x 2 2 - D f A 0 Γ d L 　 。
在径向距离为L处薄壁空心球体的体积Vq为
V q = 4 3 π L + d L 3 - 4 3 π L 3 　 。
为方便计算,忽略式(16)的高阶项,可写为
V q = 4 π L 2 d L 　 。
故在半径L处的体孔隙率ϕ为
ϕ = V L V q = Γ 1 - φ π D f λ m a x 2 4 2 - D f A 0 　 。
对比式(11)与式(18),可以得出
ϕ = Γ φ 　 。
通过式(19)可以发现,体孔隙率等于面孔隙率与迂曲度的乘积,只有当Γ=1,即浆液沿直线扩散时,面孔隙率才等于体孔隙率。因此,实际的多孔介质中体孔隙率要大于面孔隙率。

1.4 细观形式的宾汉姆浆液渗透注浆扩散模型

宾汉姆浆液的基本流变方程可表示为[18]
τ = τ 0 + μ p γ 　 。
式中:τ为剪切应力(Pa);τ0为屈服应力(Pa);μp为塑性黏度(Pa·s);γ为剪切速率(1/s)。
对于宾汉姆浆液在单个毛细管中的运动状态,众多学者已进行了研究[6,19],其在单个毛细管中的流量qs可表示为
q s λ = π λ 4 128 μ p - d p d L e - π τ 0 λ 3 24 μ p 　 。
则浆液通过代表性单元的流量qz为
q z = - ∫ λ m i n λ m a x q s λ d N 　 。
将式(2)和式(21)代入式(22),可得
q z = - π D f λ m a x 4 128 μ p Γ 4 - D f d p d L 1 - λ m i n λ m a x 4 - D f - π τ 0 D f λ m a x 3 24 μ p 3 - D f 1 - λ m i n λ m a x 3 - D f 　 。
研究表明[14,20⇓-22],在多孔介质中有λmin≪λmax,又由于0≤Df ≤2,那么2≤4-Df ≤4,且1≤3-Df ≤3。故式(23)可以简化为
q z = - π D f λ m a x 4 128 μ p Γ 4 - D f d p d L - π τ 0 D f λ m a x 3 24 μ p 3 - D f 。
将式(24)除以式(6),可得细观形式的宾汉姆浆液渗透扩散表观速度v为
v = q z A 0 = - λ m a x 2 φ 2 - D f 32 μ p Γ 1 - φ 4 - D f d p d L - τ 0 λ m a x φ 2 - D f 6 μ p 1 - φ 3 - D f 　 。
浆液通过距注浆孔L处球面的总流量q为
q = 4 π L 2 v = - π L 2 λ m a x 2 φ 2 - D f 8 μ p Γ 1 - φ 4 - D f d p d L - 2 π L 2 τ 0 λ m a x φ 2 - D f 3 μ p 1 - φ 3 - D f 　 。
将式(26)分离变量,并代入边界条件(L=L0时p=p0及L=L1时p=pw)积分,可以求解得
Δ p = p 0 - p w = 8 μ p Γ 1 - φ 4 - D f q π λ m a x 2 φ 2 - D f 1 L 0 - 1 L 1 + 16 τ 0 4 - D f Γ 3 3 - D f λ m a x L 1 - L 0 　 。
式中:Δp为注浆压力差(Pa);p0为注浆压力(Pa);pw为地下水压力(Pa)。
由质量守恒,有
q = 4 π φ L 1 3 3 t 　 。
将式(19)和式(28)代入式(27),可得细观形式的宾汉姆浆液球形渗透扩散公式,即
Δ p = 32 μ p Γ 2 4 - D f 1 - φ 3 2 - D f λ m a x 2 t 1 L 0 - 1 L 1 L 1 3 + 16 τ 0 4 - D f Γ 3 3 - D f λ m a x L 1 - L 0 　 。
式中t为注浆时间。

1.5 宾汉姆浆液渗透注浆扩散模型的优化

由式(29)可以发现,使用分形理论能够从细观角度直接描述多孔介质渗透注浆扩散机制,且无任何经验公式;但此公式仍包含工程上难以测量的最大孔隙直径λmax。渗透系数K是反映土体渗透能力的一个宏观运输参数,与土体最大孔隙直径λmax相比更易获取;对同一多孔介质,水在多孔介质内的渗透扩散通道和宾汉姆浆液相同,均满足分形定律。因此,建立渗透系数K与式(28)中的最大孔隙直径λmax的等效替换公式,可以推导出更利于注浆工程应用的宾汉姆浆液渗透扩散公式。
设与水流入渗方向垂直的渗透仪横截面面积为As,渗透仪长度为l0,见图3。横截面总孔隙数目Nw可以表示为
N w = A s A 0 N = A s A 0 λ m a x λ D f 。
图3 渗透仪示意图

Fig.3 Diagram of the penetrometer

对式(30)两边求微分可得
d N w = - A s A 0 D f λ m a x D f λ - ( D f + 1 ) d λ 　 。
水是牛顿流体,令式(21)中的屈服应力τ0=0,即可得到水在单个毛细管中流量为
q w λ = π λ 4 128 μ w - d p d l e 　 。
式中:μw为水的黏度(Pa·s);le为水在多孔介质中的实际运动距离(m)。
故水通过渗透仪横截面的总流量Q为
Q = - ∫ λ m i n λ m a x q w λ d N w 。
将式(31)和式(32)代入式(33)积分,可得
Q = - π A s D f λ m a x 4 128 μ w A 0 4 - D f d p d l e 1 - λ m i n λ m a x 4 - D f 。
与式(23)的化简相同,并根据公式dle=Γdl,式(34)化简得到渗流总流量的表达式为
Q = - 1 Γ π A D f λ m a x 4 128 μ w A 0 4 - D f d p d l 　 。
在稳定渗流时,各处的水力梯度与整体的水力梯度相等,故有
- d p d l = Δ p l 0 　 。
因此,将式(35)代入式(34)可得
Q = 1 Γ π 128 μ w A A 0 D f 4 - D f λ m a x 4 Δ p l 0 　 。
根据达西定律,有
Q = k A Δ p μ w l 0 　 。
式中k为渗透率(m2)。
联立式(6)、式(37)和式(38),可求出渗透率k的表达式为
k = 1 32 Γ 2 - D f 4 - D f φ 1 - φ λ m a x 2 　 。
渗透率k与渗透系数K可由 K = ρ w g / μ w k换算,其中ρw为水的密度(kg/m3),代入式(39)可得
λ m a x = 32 Γ μ w K ρ w g 4 - D f 2 - D f 1 - φ φ 　 。
式(40)可将难以测量的最大孔隙直径用工程上易于测量的渗透系数K来表示。
将式(19)和式(40)代入式(25),可得化简后的宾汉姆浆液渗透扩散表观速度v为
v = q z A 0 = - μ w K μ p ρ w g d p d L - τ 0 2 - D f 6 μ p 3 - D f 32 Γ ø μ w K 4 - D f ρ w g Γ - ø 2 - D f 　 。
将式(19)和式(39)代入式(29),即可得到基于分形理论的多孔介质球形渗透扩散公式
Δ p = μ p ø ρ w g 3 μ w K t L 1 3 1 L 0 - 1 L 1 + 2 2 4 - D f τ 0 3 3 - D f · ρ w g μ w K Γ ø Γ - ø 2 - D f 4 - D f L 1 - L 0 　 。
在注浆工程中,L1≫L0,故1/L0-1/L1≈1/L0;对于牛顿浆液τ0= 0,将其代入式(42)即可得牛顿浆液的渗透扩散方程为
Δ p = μ p ø ρ w g 3 μ w K t L 0 L 1 3 　 。
式(43)即为Maag公式的变式,因此Maag公式仅是式(42)的特殊情况。

2 参数取值与适用范围

2.1 参数取值

在式(42)中,浆液的塑性黏度μp和屈服应力τ0通过黏度仪测出;注浆管半径L0通过多次测量取平均值获得;渗透系数K通常由注水试验取得;体孔隙率可通过式(44)计算。
ø = 1 - γ γ s 1 + w 　 。
式中:γ为土的天然重度(kN/m3);γs为土体颗粒的重度(kN/m3);w为含水率。以上3个参数由试验得到。
迂曲度Γ可由式(45)计算[22]。
Γ = 1 - ø 2 + 1 - ø 4 + ø + 1 + 1 - ø 9 - 5 ø - 8 1 - ø 8 ø 　 。
土体孔隙的分形维数Df由式(5)计算,即
D f = 2 - l n φ l n λ m i n / λ m a x 　 。
φ与体孔隙率的关系由式(19)给出,当体孔隙率和迂曲度确定时,面孔隙率也确定下来。

2.2 适用范围

本公式建立在浆液层流流动的假设之上,故本公式适用浆液呈层流形式的扩散,不适用于紊流形式的浆液扩散;浆液流态根据雷诺数Re来判别,当Re≤2 000时,浆液呈层流形式扩散;当Re>2 000时,浆液呈紊流形式扩散。雷诺数Re为
R e = ρ b v λ μ p 　 。
式中ρb为宾汉姆浆液密度(kg/m3)。
此外,本公式在分形理论的基础上推导得到,对于绝大多数砂土地层,其孔隙分布满足分形标度律,故适用于本公式;对于含有大量圆砾、角砾颗粒的土石混合体[23],由于缺乏相关文献证明此类多孔介质的孔隙分布满足分形标度律,本公式不适用。

3 模型对比及注浆试验验证

3.1 宾汉姆浆液表观速度模型对比

Wang等[24]基于均匀毛细管模型提出Herschel-Bulkley流体在多孔介质中流动的表观速度表达式,即
v = n 3 n + 1 1 2 μ 1 / n 8 k n + 1 2 n ϕ n - 1 2 n - d p d L - 2 τ 0 ϕ 8 k 1 / n 。
式中n为幂律指数。Herschel-Bulkley流体的流变方程可写为: τ = τ 0 + μ p γ n。
令幂律指数n=1,Herschel-Bulkley流体转换为宾汉姆浆液的流变方程。因此,由式(48)表示的宾汉姆浆液在多孔介质中流动的表观速度可写为
v = - k μ p d p d L - 2 τ 0 k μ p ϕ 8 k 　 。
图4显示了在不同λmin/λmax的砂土地层中,宾汉流体的表观速度与压降之间的关系。两种表观速度模型的变化趋势一致,当压力梯度大于启动压力梯度时,表观速度与压力梯度呈线性关系。Wang等[24]推导的模型基于均匀毛细管理论,认为λmin/λmax=1;然而实际的多孔介质毛细管孔径并不相等,宾汉姆浆液在毛细管中的流速与土体孔隙分布特征有关,当λmin/λmax减小时,本文模型计算的宾汉流体启动压力梯度随之减小。利用分形理论和毛细管模型推导的宾汉流体在多孔介质中渗透扩散的表观速度公式与迂曲度、土体孔隙分形维数和多孔介质微观结构有关,揭示了宾汉姆浆液在多孔介质中的运动机理。目前最小孔径与最大孔径之比没有精确的解析形式,一般根据Yun等[20]、Xu和Yu[25]的研究取λmin/λmax=0.01。
图4 在不同λmin/λmax的多孔介质中本文模型式(41)和式(49)的宾汉流体速度与压降的关系(k=7.61×10-9 m2, φ=0.404, μp=0.01 Pa·s, τ0=2 Pa)

Fig.4 Comparison of velocity vs. pressure drop of Bingham fluid between the present model equation (41) with different ratios of λmin/λmax in porous media and equation (49) (k=7.61×10-9 m2, φ=0.404, μp=0.01 Pa·s, τ0=2 Pa)

3.2 渗透注浆扩散模型试验验证

为证明基于分形理论的多孔介质球形渗透扩散公式(式(42))适用的广泛性和准确性,采用吴星[26]对6种不同河床砂层渗透注浆试验的结果进行验证,相关试验参数见表1。浆液流变方程采用文献[27]中对15组水灰比为0.6~2.0水泥浆液流变参数回归分析得到的结果,见式(50)。将试验参数分别代入式(42)求解浆液扩散半径L1,并将计算结果与考虑浆液扩散路径的渗透注浆扩散机制的理论计算结果[11]进行对比,计算结果见表2和图5。
τ 0 = 0.1446 + 127.9171 e - 6.5811 m , 　 R 2 = 0.9608 ; μ p = 0.0079 + 0.4654 e - 3.9776 m , 　 R 2 = 0.9878 。
表1 不同砂层注浆试验参数

Table 1 Parameters of grouting tests for different sand layers

编
号		 m 流变方程 ϕ K/
(cm·s-1)		 Δp/
MPa
1 1.2 τ = 0.1922 + 0.0118 γ 0.325 0.008 4 0.20
2 1.6 τ = 0.1480 + 0.0087 γ 0.402 0.01 0.32
3 2.0 τ = 0.1448 + 0.0081 γ 0.369 0.108 0.16
4 1.0 τ = 0.3219 + 0.0166 γ 0.358 0.123 0.28
5 1.4 τ = 0.1574 + 0.0097 γ 0.331 0.267 0.12
6 1.8 τ = 0.1455 + 0.0083 γ 0.374 0.754 0.24

注:注浆管的半径L0 = 1 cm;在20 ℃时,μw =1.01×10-3 Pa∙s;注浆时间t = 200 s。

表2 不同砂层浆液扩散半径实测值与理论值对比

Table 2 Comparison of experimental values of diffusion radius with theoretical values for different sand layers

编号 实测
值/cm		 考虑扩散路径
法[11]/cm		 考虑扩散路径法
的误差[11]/%		 本文方
法/cm		 本文方法
的误差/%
1 19 3.35 -82.37 14.20 -25.26
2 24 4.83 -79.88 18.09 -24.63
3 39 11.10 -71.54 33.14 -15.03
4 38 10.68 -71.89 33.14 -12.79
5 41 14.64 -64.29 39.68 -3.22
6 73 32.14 -55.97 71.33 -2.29
图5 不同砂层注浆相对误差对比

Fig.5 Comparison of relative errors for different sand layers

式中m为水灰比。
从表2和图5中可以看出:
(1)随着渗透系数的增大,两种方法的相对误差均呈减小的趋势。这是因为低渗地层对水泥颗粒的渗滤作用较为明显,会导致浆液黏度随浆液扩散距离的增大而不断衰减,最终导致浆液实际扩散距离增大[28];当渗透系数增加时,渗滤作用的影响逐渐降低,浆液黏度的空间衰减幅度减小,因此水泥浆液在多孔介质中的渗透扩散距离逐渐逼近理论解。
(2)本文方法计算得到的最大误差为-25.26%,最小误差为-2.29%;而考虑浆液扩散半径法[11]最大误差为-82.37%,最小误差为-55.97%。因此,尽管本方法并未考虑浆液的渗滤作用,但误差仍然在可接受的范围之内,与考虑浆液扩散路径法[11]相比,本文推导的基于分形理论的宾汉姆浆液渗透扩散公式预测浆液扩散范围更准确。

4 结论

(1)基于分形理论和毛细管模型推导了宾汉姆浆液细观渗透扩散公式;根据砂性地层的分形特征,建立了渗透系数与土体最大孔隙直径等效替换公式,改进了细观形式的宾汉姆浆液渗透扩散公式,提高了公式的实用性。指出当屈服应力为0时,基于分形理论的宾汉姆浆液球形渗透扩散公式转化为Maag公式,Maag公式只是本公式的一个特例。
(2)对宾汉姆浆液在多孔介质中渗透扩散表观速度的不同模型进行对比分析,说明基于分形理论的宾汉姆浆液渗透扩散表观速度公式与现有模型变化规律一致。从分形理论出发建立的宾汉姆浆液球形渗透扩散模型将宾汉姆浆液的流变特性与多孔介质地层的迂曲度、土体孔隙分形维数和多孔介质微观结构联系起来,具有更明确的物理含义。
(3)通过室内模拟注浆试验对推导的基于分形理论的宾汉姆浆液球形扩散渗透扩散公式进行了验证。结果表明:虽然推导的宾汉姆浆液渗透扩散半径理论值与实测值之间存在一定的差距,但误差在可接受的范围之内,可对工程实践进行指导;与前人推导的公式对比,本公式具有更高的准确性和更广泛的适用性。

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