Medical Journal of the Chinese People's Armed Police Forces

Journal of Changjiang River Scientific Research Institute >

2025 , Vol. 42 >Issue 5: 184 - 191

DOI: https://doi.org/10.11988/ckyyb.20240191

Rock Soil Engineering

Similarity Criterion Based on the Analytical Solution of Heat Conduction Equation in Frozen Soil

  • BO Yin , 1, 2, 3 ,
  • WANG Cong 1, 2 ,
  • FENG Yan-fang 3 ,
  • ZHANG Bin 4 ,
  • ZHANG Ying 4 ,
  • GUO Xiao-gang 1, 2 ,
  • YAO Jin-song 1, 2 ,
  • WEI Lai 1, 2 ,
  • CHEN Rong 1, 2 ,
  • XU Chen 5
Expand
  • 1 CISPDR Corporation, Wuhan 430010, China
  • 2 Key Laboratory of Water Grid Project and Regulation ofMinistry of Water Resources, Wuhan 430010, China
  • 3 School of Civil Engineering, Wuhan University, Wuhan430072, China
  • 4 Shiyan Urban Water Source Co., Ltd., Shiyan 442012, China
  • 5 School of Resource andEnvironmental Engineering,Wuhan University of Technology, Wuhan 430070, China

Received date: 2024-03-01

  Revised date: 2024-05-29

  Online published: 2025-05-21

Fold

Abstract

[Objective] The evolution pattern of temperature field in frozen walls serves as a key factor in optimizing design schemes during artificial ground freezing. At present, laboratory model tests are a critical approach for investigating the development of temperature fields. This study aims to propose a method for deriving similarity criteria for temperature field model tests, offering essential theoretical guidance for the design of laboratory experiments. [Methods] First, analytical solutions to one-dimensional heat conduction differential equations, under both constant and nonlinear thermal parameters, were obtained using the method of separation of variables with different boundary conditions. Based on these solutions, similarity transformation techniques were employed to derive similarity criteria for frozen soil model tests, accounting for both heat exchange and non-heat-exchange conditions. Finally, the finite element software ABAQUS was utilized to conduct numerical simulations of the temperature fields for both prototype and model soils under constant and nonlinear thermal conductivity conditions, verifying the accuracy of the derived criteria. [Results] Results indicated that under non-heat-exchange conditions, when the first-type (Dirichlet) and second-type (Neumann) boundary conditions were combined, the time similarity coefficient equaled the square of the geometric similarity coefficient, enabling rapid determination of model test durations once the geometric scaling ratios were predefined. Similarly, under the combination of second-type and third-type (Robin) boundary conditions, the time similarity constant coefficient remained the square of the geometric similarity constant coefficient. This consistency held regardless of whether thermal parameters were constant or nonlinear, meaning that the time similarity coefficient was the square of the heat conduction geometric similarity coefficient. ensuring uniform criteria between prototype and model cases. When heat exchange was considered, the temperature similarity coefficient was no longer constant. In such cases, the test soil must be replaced and the similarity coefficients of thermal properties such as thermal conductivity, specific heat capacity, and density must satisfy specific quantitative relationships with those of the prototype soil. [Conclusion] The simulation results showed that under the corresponding time and geometric scaling conditions derived in this study, the temperature fields of the prototype and model closely matched, further validating the accuracy of the proposed similarity criteria. The similarity criteria derived from analytical solutions to heat conduction equations fully incorporate the effects of heat exchange boundary conditions and provide a fast and accurate method for determining scaling relationships when similarity coefficients for relevant thermophysical parameters are known. These findings are expected to offer a theoretical basis for solving nonlinear heat conduction problems and for guiding the design and execution of frozen soil model tests.

Key words： frozen soil; non-linear heat conduction; analytic solution; similarity criterion; model test

Cite this article

BO Yin , WANG Cong , FENG Yan-fang , ZHANG Bin , ZHANG Ying , GUO Xiao-gang , YAO Jin-song , WEI Lai , CHEN Rong , XU Chen . Similarity Criterion Based on the Analytical Solution of Heat Conduction Equation in Frozen Soil[J]. Journal of Changjiang River Scientific Research Institute, 2025 , 42(5) : 184 -191 . DOI: 10.11988/ckyyb.20240191

开放科学(资源服务)标识码(OSID):

0 引言

随着我国经济建设的发展和城市化进程的推进,地下通道和隧道等地下空间的开发工程日益兴盛。由于地下结构受荷情况复杂,故而其施工技术一直是众多学者关注的技术难题。目前在地质条件较为复杂的地区,人工冻结法被人们频繁使用。该方法通过向土体内输送冷量对其进行降温直至冷冻,达到增大土体强度、刚度和稳定性以及降低渗透性的目的。人工冻结法最初应用于俄国金矿开采,1883年德国工程师波茨舒将其应用于煤矿矿井建设并取得了多项专利[1],1955年我国工程师首次在开滦林西风井的建设工程中使用人工冻结法凿井,并取得较大成功[2]。而2018年港珠澳大桥拱北隧道是成功应用“管幕+冻结”的方式顺利建设的曲线隧道,成为人工冻结法在地下工程中应用的里程碑。由此可见,人工冻结技术已经成为城市轨道交通地层加固的主要工法。而人工冻结过程中温度场的演化规律是掌握冻结壁发展性状,优化冻结设计的依据。
冻结温度场研究主要包括冻结过程中形成冻结壁温度场及解冻温度场的研究。地下建筑穿越富水地层和软弱地层是较为常见的现象,开挖过程中也极易出现塌方、突水涌泥和地表沉降等工程风险,通过原位试验获得地铁联络通道周围的冻结土体温度场演变规律非常困难,因此模型试验成为研究冻结法施工的重要手段之一。模型试验是探索自然科学规律时常用的一种模化方法[3-5],而相似准则作为原型与模型之间的纽带,是模型试验的理论基础[5],因此对相似准则的推导是进行模型试验的关键。丁德文等[6]对冻土热传导模型试验的理论进行了推导,建立了热传导相似准则的理论基础。徐学燕等[7]对冻土墙温度场的相似准则进行了推导,并进行了相应的模型试验。张源等[8]研究了隧道围岩非稳态导热的模化试验方法,并以掘进巷道为例进行了可行性验证。
现有文献对模型试验相似准则的求解方法,大多是依据因次分析法和量纲分析法建立起来的[7-9]。此种推导方法未考虑物理现象的单值条件,且通常假设热参数为常数。实际上,土在冻结过程中的热传导问题常常涉及复杂的初始条件和边界条件,且比热和导热系数等热参数会随着水冰相变或其它条件的变化而发生显著变化[10-11]。因此,建立热参数随温度非线性变化的相似准则对冻结模型试验温度场的研究非常重要。热传导方程的解析解能准确描述方程中各物理量之间的关系,并且充分考虑了初始条件和边界条件。因此,基于非线性热传导方程解析解推导得到的相似准则更具有理论意义和实用价值,是开展严密、精细冻土模型试验的理论基础和前提条件[12]。
基于以上背景,本文采用分离变量法求解了非线性热传导方程解析解。在此基础上,分别推导了考虑热交换和不考虑热交换2种情况下的冻土温度场模型试验的相似准则。最后,利用有限元软件ABAQUS验证了相似准则的合理性。

1 一维热传导方程求解

在自然界中,浅层土受气温影响较大,其温度常常随着外界温度的变化而变化。当深度l超过一定界限后,土层的温度将不再随外界温度的变化而变化。假设土层是均匀的,则平整场地土层深度方向的冻结可以简化为一个一维热传导问题,如图1所示。
图1 土层的一维传热模型

Fig.1 One-dimensional heat transfer model of soil layers

若在x=0处有温度为T1的恒定冷源,土层的初始温度为T0,则描述该瞬态导热过程的微分方程为[13]
ρ C ∂ T ∂ t = ∂ ∂ x λ ∂ T ∂ x 。
式中:ρ为土体密度;C为比热容;T为温度;t为土层的热传导时间;λ为导热系数;x为土层宽度方向的坐标。

1.1 常系数热参数方程的解析解

为了简化热传导的数学模型,现有做法一般是将导热系数λ与比热C均视为常数处理。当ρ、C及λ均为常数时,将相变潜热叠加至比热中[14-15],则式(1)转化为
ρ C ∂ T ∂ t = λ ∂ 2 T ∂ x 2 。
利用分离变量法,结合第一、二类单值条件,可以得到式(2)的解析解,即
T x , t = T 0 - T 1 e - π 2 λ t 4 l 2 ρ C s i n π x 2 l + T 1 。
式中:T0表示土层的初始温度;T1表示温度恒定的冷源。
第二类、第三类边界条件结合下的解析解为
T x , t = T 0 ∑ m = 1 ∞ 2 s i n β m β m + s i n β m c o s β m · c o s β m l x e - β 2 m α t l 2 。
式中:l是模型土厚度;βm是特征方程cotβ=β/Bi的第m个正根;αt/l2=F0在数学上称为傅里叶数,可以看做非稳态导热过程中的无因次时间。

1.2 热参数非线性变化时方程的解析解推导

依据热参数为常系数假设推导出来的热传导方程解析解是一种理想化模型,与土冻结过程的非线性热传导问题并不完全相符。一些学者给出了C与λ随温度非线性变化的映射关系[15],但鲜有考虑C和λ非线性变化时微分方程解析解的成果报道。既有的非线性热传导方程解的研究一直停留在数值解层面,不同的模拟软件得到的数值解在精度和收敛度上存在较大差异。
当热参数C、λ为温度T的函数时,一阶导热微分方程将转换为非线性方程。既有研究对非线性导热方程解析解的探究仍处于空白领域。本文尝试将比热非线性化一维热传导方程进行求解,并在此基础上推导相关相似准则,以期对冻结过程中土体非线性温度场的演变规律进行研究。
既有研究表明,土的比热在未冻结阶段可以认为是常数;当温度降低至开始冻结后,土体比热是随温度变化的函数。夏锦红等[15]给出了一种考虑显热和潜热双重效应的冻土比热随负温的变化关系,如图2所示。
图2 冻土比热与负温的关系

Fig.2 Relationship between the specific heat of frozen soil and subzero temperature

依据图2给定的冻土比热与负温之间的关系,可将冻土比热与负温的关系拟合为ρC=ATB形式的函数。其中A、B为待定常参数。
依据非线性、非定长一维导热方程解析解的分离变量法[13],式(1)可表示为
A T B ∂ T ∂ t = λ ∂ 2 T ∂ x 2 。
设T(x,t)=M(x)N(t),将其代入式(5)中,可得
A N t B N t ' = C 1 = λ M x B + 1 M x ″ 。
式中C1为有量纲的常数。
对式(6)中等号左侧进行分离变量,得
N t = B C 1 A t + C 2 1 B 。
式中C2为有量纲的常数。式(6)中等号右端的解为
M x = 4 λ + 2 B λ B 2 C 1 1 B x - 2 B 。
式(7)乘以式(8),可得到方程(5)的解析解,即
T x , t = λ t + C 2 4 + 2 B A B x 2 1 B 。
结合冻土层的初始条件和第一、二类边界条件,得到
T x , t = λ t 4 + 2 B A B x 2 + T 0 B T 1 B l 2 x - 2 1 B 。

2 相似准则推导

依据前文获取的热传导方程解析解,利用相似转换法推导热传导方程的相似准则。

2.1 基于常系数热传导方程的相似准则

依据相似变换法推导常系数热传导方程的相似准则,得到几何参数、导热系数、容积热容量和温度的相似常系数分别为:
c l = l l ' 　 ,
c λ = λ λ ' 　 ,
c ρ c C = C ρ C ' ρ ' 　 ,
c T = T T ' 。
式中:cl、cλ、cρ、cC、cT分别表示土体的几何、导热系数、密度、比热和温度的相似系数;T、l、λ、ρ、C分别表示试验原型中土的温度、厚度、导热系数、密度和比热;T'、l'、λ'、ρ'、C'分别表示模型试验时土的温度、厚度、导热系数、密度和比热。
当单值条件为第一类边界条件和第二类边界条件结合时,将式(11)—式(14)代入到式(10)中,得
c T T ' = c T T 0 ' - T 1 ' e c λ c t c ρ c C c l 2 · - π 2 λ ' t ' ρ C 4 l 2 s i n π x ' 2 l ' + c T T 1 ' 。
式中:T0'、T1'分别表示模型土体的初始温度和冷源温度;t'表示模型土体的热传导时间;x'表示模型土体的热传导横坐标。根据相似原理,相似的物理现象必定能用同一微分方程描述,且其单值条件相似[12]。若使得模型与原型相似,则须满足
c T = 1 , 　 α c t c l 2 = 1 。
式中α表示热扩散系数,且
α = c λ c ρ c C 。
因此可以得到时间的相似系数为
c t = t t ' = c l 2 c α = c l 2 = l 2 l ' 2 。
式中:t表示原型土层的热传导时间;t'表示模型土层的热传导时间;cα表示热扩散系数的相似系数。若模型与原型是同种土,则模型和原型的热扩散系数相等,即cα=1。由式(18)可知,在第一类边界条件和第二类边界条件结合的情况下,时间的相似常系数为几何尺寸相似常系数的平方,即在几何缩比已知的条件下,可以依据相似准则快速得到模型试验进行的时间。
当单值条件为第二类边界条件和第三类边界条件结合时,设βm的相似常系数为cβm,即
c β m = β m β m ' 。
则
β m = c β m β m ' 。
式中 β m '表示模型土层热传导方程的特征方程cotβ=β/Bi的第m个正根。
将式(11)—式(14)以及式(20)代入式(9)中得
c T T ' x , t = c T 0 T 0 ' ∑ m = 1 ∞ 2 s i n c β m β m ' c o s c β m β m ' c l l c l x c β m β m ' + s i n c β m β m ' c o s c β m β m ' · e - c β m β m ' 2 c α c t α ' t ' c l 2 l 2 ' 。
式中: c T 0表示土体初始温度的相似常系数;α'表示模型土体的热扩散系数。
当模型试验中的土体与物理原型中的土体保持一致时,cβm=1,cα表示热扩散系数的相似常系数。要使模型与原型相似,需满足以下条件
c α c t c l 2 = 1 , 　 c T = 1 。
因此可以得到时间的相似常系数为
c t = t t ' = c l 2 c α = c l 2 = l 2 l ' 2 。
由式(23)可知,在第二类边界条件和第三类边界条件结合的情况下,时间的相似常系数也为几何尺寸相似常系数的平方。
由式(18)和式(23)可知,对于常系数热传导方程,无论解析解和边界条件是何种形式,模型试验所需的相似准则都将一致,即:时间相似常系数是几何尺寸相似常系数的平方。

2.2 基于非线性热传导方程的相似准则

设常参数A和B的相似系数为cA、cB,即
c A = A A ' 　 ,
c B = B B ' 。
式中A'、B'为模型常参数。
将式(11)—式(14)和式(24)、式(25)代入式(9)中,可得
c T T ' = c λ c t λ ' t ' + C 2 4 + 2 B c A c B c l 2 A ' B x ' 2 1 B 。
若模型试验与原型保持同一种土体,则模型与原型相似须满足
c T = 1 , 　 c λ c t c A c B c l 2 = 1 。
若式中的cλ 、cA与cB均为1,则可得到时间相似系数为
c t = t t ' = c l 2 = l 2 l ' 2 。
由式(28)可得,对于比热随着负温非线性变化的情况,若不考虑热交换条件,热传导时间的相似系数依然为几何相似系数的平方。
事实上,在土的冷冻问题中,受外界环境和冷源影响,热交换和热对流时刻存在,温度的相似系数也并不为1。此时的模型试验结果要与原型试验相对比,则需要更换模型试验用土,即配制一种满足相似比的土体,这种新的模型土的几何和热物性参数需要依据相似准则进一步计算。以容积热容量ρC=ATB的情况为例,此时土体温度的相似常系数cT不为1时,则模型土的容积热容量的相似常系数为
c ρ c C = A y T y B A m T m B = c A c T B 。
式中:Ay、Am分别为原型和换土模型的容积热容量的幂函数系数;Ty、Tm分别为原型和换土模型的温度。要使得原型和换土后模型相似,则式(26)须满足
c λ c t c A c B c l 2 1 B 1 c T = 1 。
即换土之后的模型试验的时间常系数为
c t = c A c B c l 2 c T B c λ 。
由式(31)可得到模型试验换土之后需要满足的相似准则,由此关系式即可得到新的模型土几何参数和热物性参数的相似常系数之间的关系,则新的模型土的土体参数即可得到。依据此种相似准则设计的模型试验,可以反推到原型。

3 数值模拟验证

为验证上述推导的相似准则的准确性,基于有限元软件ABAQUS分别对常系数和非线性导热问题的原型土与模型土温度场进行了数值模拟。
土体比热是一个与温度相关的分段函数,在未冻结区域和冻结区域呈现不同的变化趋势。受土体宏微观性质影响,土中水的冻结温度低于0 ℃[16],土体在0 ℃开始降温并出现过冷现象,此时土体比热与正温土体的比热基本一致。当土体温度下降到土体冻结温度时,比热随土体温度的下降发生显著变化。不同比热阶段的相似准则不一致,因正温阶段的土体热传导模型试验相似准则研究较为成熟,故本文以验证负温阶及土体热传导模型试验相似准则的准确性。仅选取冻结阶段的模型土温度场进行模拟。

3.1 计算模型简介

一维冻土层下的原型尺寸(长×宽)简化为2 m×1 m的二维矩形区域。土层深度2 m,热量沿着深度方向由上至下传导,土体初温为0 ℃,在矩形上部边界设置-20 ℃的恒温冷源,其余边界在不同的情况分别设置不同的边界条件。
模型试验采用土体参数与热参数均依据相似准则从原型缩比得到,几何尺寸缩比为2。热量沿着深度方向由上至下传导,在矩形上部边界设置恒温冷源,然后按照不同的边界条件设置边界,并将各种情况模型进行编号如表1所示,模拟中采用的相似常数如表2所示,土体的热物理参数和边界条件如表3所示。
表1 计算模型编号

Table 1 Calculation model numbers

模型 边界条件 模型编号
常系数原型 一二类边界 A1
常系数原型 一二类边界 A2
常系数原型 考虑热交换 A3
常系数原型 考虑热交换 A4
非线性原型 比热C非线性一二类边界 A5
非线性原型 比热C非线性一二类边界 A6
换土模型 考虑热交换 A7
表2 相似常系数

Table 2 Similarity constant coefficients

土样 cl cλ cC cT cα cA cB ct
原土 2 1 1 1 1 1 1 4
模型土 2 2 1/2 4 - 2 1 1/4
表3 模拟参数取值

Table 3 Values of simulation parameters

模型编号 密度/
(kg·m-3)		 比热/
(J·(kg·℃)-1)		 导热系数/
(W·(m·℃)-1)
A1、A2、
A3、A4		 1.91×103 1.95×103 5.004×103
A5、A6 1.91×103 100T-2 5.004×103
A7 1.91×103 200T-2 2.502×103
模型编号 初始温度/℃ 冷源温度/℃ 环境温度/℃
A1、A2、
A3、A4		 0 -20 6.8
A5、A6 -0.330 -20 6.8
A7 -0.083 -5 6.8
表3中,模型A1、A2、A3、A4、A5和A6的温度缩比为1,故而冷源温度均为-20 ℃,A7为考虑热交换换土之后的模型,温度缩比为4,比热缩比为2,导热系数缩比为2,故而冷源温度为-5 ℃,比热为200T-2 J/(kg·℃),导热系数为2.502×103 W/(m·℃)。

3.2 结果对比分析

依据表2的相似常系数和表3的热参数取值,利用ABAQUS分别对模型A1、A2、A3、A4、A5、A6和A7的温度场进行了数值模拟。得到模型A1、A3、A5在200 h后的温度场分布情况以及模型A2、A4和A7在50 h后的温度场分布情况。为表示模型试验原型温度场与缩比模型温度场的温度变化情况,沿着冷源的传递方向的取了2个测温点。测温点的选取位置如图3。
图3 模型测温点的布置

Fig.3 Layout of temperature measurement points in the model

图4展示了各个模型的温度场分布,其中图4(a)和图4(b)表示一维冻土层下常系数原型与缩比模型的温度场分布云图,图4(c)和图4(d)表示一维冻土层下比热非线性变化时原型与缩比模型的温度场分布云图。由云图可看出,对于一维冻土层模型,温度场沿着冷源边界随时间的增长成线性发展,与冷源靠近的位置处冻结温度场的温度值较低,这是因为冷源向下传递,最先传到的土体快速吸收冷量,导致越靠近下边界的土体温度越高。
图4 各模型温度场分布

Fig.4 Contours of temperature field distributions for each model

图5展示了不同边界条件下模型与原型测点温度随时间的变化曲线。由图5可知,A1、A2模型在200 s内的温度场分布曲线和A3、A4在50 s内的曲线形式基本一致,A5模型在200 s内的温度场分布曲线和A6、A7在50 s内的曲线趋势几乎一致,这进一步验证了上述推导的相似准则的正确性。对比常系数热参数与非线性热参数2种情况下温度场的发展趋势,发现热参数为常系数时冻土温度场变化速度明显大于非线性时温度的变化速度。这是因为,当考虑比热随负温的降低而降低时,土体降低1 ℃所吸收的冷量必然小于比热为常系数时的冷量,故而温度降低速度远小于比热为常数时的情况。这与既有的研究结论是吻合的[14,17-18]。
图5 各模型测点的温度随时间变化曲线

Fig.5 Temperature variation curves of measurement points over time in each model

原型A1和A3在40 s对应的温度场(0.744 ℃)与模型A2和A4在10 s(0.744 ℃)对应的温度场相等。原型A5在40 s对应的温度场(1.641 ℃)与模型A6在10 s(1.638 ℃)对应的温度场相等。将模型A7各个时间点的温度乘以2,则与原型A5对应时刻的温度正好相等;这与前文推导相似常系数之间的关系相吻合,验证了采用模型土的模型试验相似准则的正确性。
综上所述,当冻土热传导模型试验不考虑热交换时,无论热参数采用何种形式,模型与原型的时间缩比均等于尺寸缩比的平方。当非线性导热问题考虑周围环境变化时,原来的土体已经无法满足模型试验要求,此时模型试验需要更换为新土体,得到了几种不同形式的相似准则,并验证了其准确性。以上研究成果期望为相关冻土热传导研究提供理论依据。

4 结论

本文推导了非线性热传导方程的解析解,并基于解析解对冻土热传导模型试验相似准则进行了推导。考虑传热问题中的热交换影响,本文进一步得到了新的模型土在应用过程中需满足的相似准则。通过有限元软件ABAQUS对得到的相似准则进行了验证,得到了如下结论:
(1)当不考虑热交换时,无论热参数如何变化,模型与原型之间建立的相似准则都将保持一致,即时间的相似常系数是传热尺寸的相似常系数的平方。
(2)当考虑热交换时,模型试验应更换新土体,此时原型与新土体各种热物性参数的相似常系数之间应满足式(30)。
(3)基于热传导方程解析解推导的相似准则,充分考虑了冻土层传热问题中的热交换边界条件,在相关热物性参数常系数已知的条件下,可以快速得到准确的相似准则。期望为非线性问题的求解以及冻土模型试验的设计和实施提供理论指导。

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