Medical Journal of the Chinese People's Armed Police Forces

Journal of Changjiang River Scientific Research Institute >

2025 , Vol. 42 >Issue 4: 120 - 126

DOI: https://doi.org/10.11988/ckyyb.20240043

Rock-Soil Engineering

Comparative Analysis of Calculation Methods for Natural Vibration Frequency of Reinforced Soil Retaining Walls

  • CAI Xiao-guang , 1, 2, 3 ,
  • CAI Bo-yuan 1 ,
  • LI Si-han , 1, 2, 3 ,
  • HUANG Xin 1, 2, 3 ,
  • XU Hong-lu 4 ,
  • ZHU Chen 5
Expand
  • 1 College of Disaster Prevention and Mitigation Engineering,Institute of Disaster Prevention,Sanhe 065201, China
  • 2 Hebei Key Laboratory of Earthquake Disaster Prevention and Risk Assessment,Sanhe 065201,China
  • 3 Langfang Key Laboratory of Research and Application of Geosynthetic Reinforced Soil Structure,Sanhe 065201,China
  • 4 Institute of Engineering Mechanics,China Earthquake Administration,Harbin 150080,China
  • 5 School of Civil and Transportation Engineering, Hebei University of Technology, Tianjin 300401, China

Received date: 2024-01-17

  Revised date: 2024-04-22

  Online published: 2024-12-27

Fold

Abstract

Natural vibration frequency is a crucial parameter in the seismic design of reinforced soil retaining walls. To date, there is no consensus on the calculation methods for the natural vibration frequency of non-monolithic reinforced soil retaining walls. This paper reviews seven existing methods for calculating the natural vibration frequency. Taking the modular reinforced soil retaining wall (hereinafter referred to as the modular type) and the composite gabion geogrid reinforced soil retaining wall (hereinafter referred to as the composite type) as research subjects, we assess the effectiveness of these existing calculation methods by comparing the accuracy coefficient and the absolute percentage error between the measured and calculated results. The analysis reveals that the natural vibration frequencies of the modular and composite models are generally consistent at different heights. Wu Yongsheng’s calculation method shows the closest agreement with the actual measurements. Ghanbari’s method can more effectively mitigate the influence of parameter changes on the analytical calculation, thus demonstrating stronger adaptability. Xu Peng’s method has certain advantages in terms of accuracy and adaptability, with a wider application scope. In seismic design, we recommend that engineers evaluate the natural vibration frequency of the reinforced soil retaining wall before and after construction and consider the horizontal displacement of the panels as an indicator to measure the structural damage state.

Key words： geosynthetic materials; reinforced soil retaining wall; natural frequency; shake table test; comparative analysis

Cite this article

CAI Xiao-guang , CAI Bo-yuan , LI Si-han , HUANG Xin , XU Hong-lu , ZHU Chen . Comparative Analysis of Calculation Methods for Natural Vibration Frequency of Reinforced Soil Retaining Walls[J]. Journal of Changjiang River Scientific Research Institute, 2025 , 42(4) : 120 -126 . DOI: 10.11988/ckyyb.20240043

开放科学(资源服务)标识码(OSID):

0 引言

加筋土挡墙作为一种经济实用、环保可持续的土工合成结构,具有广阔的发展前景[1⇓-3]。按照工程需求和面板形式,可将加筋土挡墙分为模块式加筋土挡墙(简称模块式)、复合式格宾土工格栅加筋土挡墙(简称复合式)、整体式面板加筋土挡墙等。
自振频率是加筋土挡墙抗震设计中的关键参数[4]。当场地的卓越频率与加筋土挡墙的自振频率一致时,会产生共振效应,加剧结构响应。为更好地将加筋土挡墙应用于震灾防御领域,深入探究其自振频率至关重要。诸多学者利用模型试验、理论分析、数值模拟等手段对此进行了相关研究。
Richardson等[5]通过振动台模型试验和数值模拟提出加筋土挡墙自振周期经验方程。Darvishpour等[6]应用板理论及Rayleigh法对加筋土挡墙体系进行三维分析,求解出墙体三阶模态自振频率的解析表达式,计算结果与其他试验结果较为一致。
Matuo等[7]、Wu[8]根据假设和简化边界条件,提出计算传统挡墙基频的方程。Sarbishei等[9]利用多质量-弹簧法确定加筋土挡墙基频,结合参数敏感性分析得出加筋土挡墙基频的简单关联式。Ghanbari等[10]通过弹性地基梁理论和能量法,为整体式加筋土挡墙自振频率提供解析式。Abbasi等[4]运用弹性地基梁理论和能量法得到了土工合成加筋土挡墙弯曲基频的解析公式,计算结果与数值分析结果相同。Ramezani等[11]基于前者的研究首次考虑加筋土挡墙的刚体运动,依托于弹性地基梁理论给出刚体变形模态自振频率的2个计算公式。徐鹏等[12-13]通过传递矩阵法推导了整体式加筋土挡墙自振频率的计算方法,为加筋土挡墙高阶自振频率的计算提供参考。
Bathurst等[14-15]对1个6 m高的加筋土挡墙进行数值模拟,研究结果表明:加筋土挡墙模型的基频与传统宽填土挡墙一维剪力梁模型的预测值相当接近,利用回填土的剪切波速和弹性波理论,可估算出加筋土挡墙的基频。此外,Wu[8]提出的二维回填模型为回填足够宽的加筋土挡墙模型基频提供了合理预估。伍永胜[16]使用数值模拟软件对5个加筋土挡墙模型进行模态分析,归纳出加筋土挡墙前4阶模态自振频率的计算方法。
综上可知,多数学者在探讨加筋土挡墙的自振频率时,倾向于将其视为一个连续的整体结构,从而忽视了面板层间错动模式对自振频率的影响,以及现有计算方法在这一特定条件下的适用性问题。而针对非整体式的加筋土挡墙自振频率计算方法,迄今为止尚无统一认识。因此,本文以应用广泛的模块式和复合式两类非整体式面板加筋土挡墙作为研究对象,利用振动台试验测得模型自振频率。进而,采用主控指标——准确性系数、辅控指标——绝对百分比误差,对既有自振频率计算方法进行双指标对比分析,以期遴选出适用于模块式和复合式加筋土挡墙自振频率的计算方法,为我国加筋土挡墙抗震设计提供理论依据与技术支持。

1 振动台试验

1.1 振动台概况

试验地点位于防灾科技学院的中国地震局建筑物破坏机理与防御重点实验室。振动台相关技术指标如下:台面尺寸为3.0 m×3.0 m;振动模式为正弦波、随机波、地震波;频率范围为0.4~80 Hz;最大模型载重为200 kN;抗倾覆力矩为400 kN·m;最大加速度为空载(x向4.5g,y向3.5g)、满载(x向2.0g,y向2.0g);x向最大速度为80 cm/s,y向最大速度为70 cm/s;x向最大位移为±20 cm,y向最大位移为±15 cm[17]。

1.2 相似关系

基于相似三定理[18⇓-20],根据模块式的加筋间距、原型格宾笼尺寸以及振动台的尺寸和承载能力,可得振动台模型对应的相似关系,见表1。
表1 振动台模型试验相似常数

Table 1 Similarity constants of shaking table model test

物理量 相似常数 比例因子(模型/原型)
模块式 复合式
1∶2 1∶4 1∶2.5 1∶5
长度L C L 2 4 2.5 5
弹性模量E C E 1 1 1 1
密度 ρ C ρ = 1 1 1 1 1
应力 σ C σ = C E = 1 1 1 1 1
时间 t C t = C L 0.5 1.4 2 1.6 2.2
速度 v C v = C L 0.5 1.4 2 1.6 2.2
加速度 a C a = 1 1 1 1 1
重力加速度 g C g = 1 1 1 1 1
频率 ω C w = C L - 0.5 0.7 0.5 0.6 0.5

1.3 面板形式

两类加筋土挡墙面板形式如图1所示。模型砖尺寸(图2)(长×宽×高)分别为0.25 m×0.15 m×0.15 m、0.125 m×0.15 m×0.15 m。格宾笼尺寸(图3)(长×宽×高)分别为0.75 m×0.20 m×0.20 m、0.50 m×0.20 m×0.20 m。
图1 面板形式对比

Fig.1 Panel form comparison

图2 模型砖正视图和侧视图

Fig.2 Front view and side view of model brick

图3 格宾笼

Fig.3 Gabion cage

1.4 回填土

试验填料采用级配不良的中砂,通过土工试验得到模型所用回填土相关参数如表2所示。
表2 回填土相关参数

Table 2 Related parameters of backfill soil

粒径/mm 内摩擦角
φ/(°)		 不均匀系数
Cu		 曲率系数
Cc
d 10 d 30 d 60
0.18 0.29 0.37 41 2.055 1.262

1.5 筋材

模块式加筋材料采用单向土工格栅,土工格栅拉伸单元长度为22.5 cm,横肋宽度为2.22 cm,厚度为0.1 cm。参考美国材料与试验协会标准(ASTM D6637)进行试验可得,土工格栅2%应变时的强度T2%=17.4 kN/m,极限抗拉强度Tult=57.9 kN/m。模块式模型采用与原型相同的筋材,原型土工格栅的刚度是模型中的16倍(1∶4)和4倍(1∶2)。
复合式每层都铺设格宾网,并在偶数层铺设上单向土工格栅。按照1∶2.5的相似比,将土工格栅抗拉单元数减少2/3,所用土工格栅抗拉强度分别为T2%=6.07 kN/m和Tult=19.3 kN/m。格宾网材质为镀锌双绞六角钢丝网;网丝直径2.0 mm;网孔尺寸为7 cm×9 cm;拉伸强度参数为T2%=15.4 kN/m,Tult=28.1 kN/m。

1.6 模型设计

模块式模型整体尺寸(长×宽×高)为2.0 m×1.5 m×1.8 m。传感器布置示意如图4(a)所示。模型共布置9个加速度计:加筋区6个,墙面板上部1个,模型箱底部两侧各1个。
图4 模块式模型和复合式模型设计[21-22]

Fig.4 Design diagrams of modular model and composite model[21-22]

复合式模型整体尺寸(长×宽×高)为2.0 m×1.5 m×2.0 m。传感器布置如图4(b)所示,模型共设置14个加速度传感器[17]:加筋区10个,面板顶端和模型顶部各1个,模型底部两侧各1个,同模块式一致,以便记录模型的输入加速度。

1.7 自振频率实测结果

由于结构在地震等动荷载作用下的动力响应与其自振频率大小有关,因此在试验前对模型输入白噪声进行扫频,白噪声时程曲线如图5[17]所示。
图5 白噪声加速度时程曲线[17]

Fig.5 Time history curve of white noise acceleration[17]

现有研究倾向于将模型箱的自振频率视作加筋土挡墙的整体频率,但并未深入探究在不同高度上自振频率特性的具体差异。为此,本文从理论层面进行剖析,其原因主要包括2个方面:①连续介质假设。在结构分析过程中,一般假设结构是连续、均匀的,并假定其各项材料属性(例如弹性模量、密度等)在结构的不同部位保持不变,这就意味着结构的各个部分理论上应展现出相似的动力学特性。②小变形假设。当结构受水平振动影响时,通常在微小变形范围内运行,即其行为可以近似视为线性。在这一线弹性范围内,结构的自振频率主要取决于其质量和刚度的分布情况,而在实际的加筋土挡墙中,这些属性往往在不同高度上较为一致。
通过对白噪声加速度时程实测数据进行傅里叶变换(如图6所示),结合上述连续介质假设和小变形假设的理论分析可知,加筋土挡墙在不同高度上的自振频率基本保持一致。模块式和复合式结构实测的自振频率分别为22.43、2.61 Hz。
图6 模块式傅里叶谱

Fig.6 Modular Fourier spectrum

2 自振频率计算方法

2.1 计算方法及参数分析

(1)Bathurst等[14-15]方法。通过分析埋地炸药激励下满量程试验墙的实际响应以及现有的4个不同高度的加筋土挡墙试验数据得出,其表达式为
f R 11 = 38.1 H 　 。  
式中: f R 11为加筋土挡墙估算自振频率(Hz),上标R表示Richardson公式;H为墙高(m)。
(2)伍永胜[16]方法。一阶模态下的自振频率计算方法,其表达式为
f = 38 H + 0.4 　 。
式中f为加筋土挡墙的自振频率(Hz)。
(3)Sarbishei等[9]方法。利用水平切片法求解加筋土挡墙的自振频率,其表达式为
f = J / S v 3.15 H 　 。  
式中:J为筋材刚度(kN/m);Sv为竖向加筋间距(m)。
(4)Ghanbari等[10]方法。将土体等效模拟成弹簧,估算出均匀墙的第一振型,其表达式为
f = 1 2 π 12.362 E I m L + k m 　   。
式中:E为加筋土挡墙的弹性模量(Pa);I为均质墙的惯性矩(m4), I = W H 3 12,其中W为加筋土挡墙宽度(m);k为温克勒弹簧刚度系数, k = 1.2 E s,其中 E s为土体的弹性模量(Pa);m为加筋土挡墙质量(kg)。
(5)Ramezani等[11]方法。弯曲变形模态下的加筋土挡墙自振频率计算方法为
f = 1 2 π 41.7 E W 3 + 0.5 K 1 H 4 + 4 K 2 H 3 ρ L W 1 2 + 1 2 π 86.4 K 3 H + 1 / 2 ∑ i = 0 n K i Y x 2 ρ H W 1 2 　 。  
其中,
Y ( x ) = c o s 4.73 H x + c o s 4.73 H x - 0.98 s i n 4.73 H x - 0.98 s i n 4.73 H x 　 。
式中: L为加筋土挡墙长度(m); ρ为土体密度(kg/m3);K1为回填土的平移刚度(N/m);K2为基础的平移刚度(N/m);K3为基础的转动刚度(N/m);Ki为筋材的轴向刚度(N/m), K i = T 2 % 2 %; x为筋材距离墙底高度(m)。
(6)Darvishpour等[6]方法。式(6)为一阶模态计算式,根据板理论提出的一阶模态自振频率计算方法为
f = 1 2 π 0.025 k H 4 + 12.4 D g H 4 t ρ 　 。  
式中:D为面板刚度(N/m), D = E t 3 12 1 - v 2,其中 t为面板厚度(m), v为泊松比; g为重力加速度(9.81 m/s2)。
(7)徐鹏等[12-13]方法。整体式加筋土挡墙固有频率计算方法为
f = 1 2 π β j 4 E I + k 1 + k 2 ρ A 　 。  
式中: β j为待定系数,根据边界条件不同,其取值不同;k1、k2分别为回填土、筋材的弹簧刚度(N/m);A为墙面板面积(m2)。

2.2 方法对比

将模型试验获取的各项参数应用于以上加筋土挡墙自振频率的计算中,进而得到模块式和复合式结构的自振频率,计算结果如表3所示。
表3 自振频率的计算结果与实测结果对比

Table 3 Comparison of natural vibration frequency between calculation and measurement

序号 计算方法 自振频率计算结果/Hz
模块式 复合式
1 Bathurst等[14-15] 21.17 19.05
2 伍永胜[16] 21.51 19.40
3 Sarbishei等[9] 16.45 6.48
4 Ghanbari等[10] 37.60 35.53
5 Ramezani等[11] 116.42 119.80
6 Darvishpour等[6] 2.76 1.95
7 徐鹏等[12-13] 19.80 15.44
8 振动台试验实测 22.43 22.61
本文引入了主控指标——准确性系数(记作 κ, κ=1-计算值/实测值)。当 κ=0时,计算值与实测值一致。若 κ>0,则表明该计算方法较为保守;而 κ<0,则表示该计算方法非保守。辅控指标设定为绝对百分比误差(计算式为:|(计算值-平均值)/平均值|×100%),该指标反映的是该计算方法与其他计算方法之间的差异程度。具体来说,绝对百分比误差越小,说明该计算方法与其他方法的一致性越高,对参数变化的敏感度越低,即其稳健性越好;反之,若误差较大,则揭示出该方法的应用范围相对有限。上述2个指标的具体数值如表4所示,其变化规律见图7。
表4 自振频率计算方法误差分析

Table 4 Error analysis of calculation methods for natural vibration frequency

序号 计算方法 κ 绝对百分比误差/%
模块式 复合式 模块式 复合式
1 Bathurst等[14-15] 0.06 0.16 37.13 38.73
2 伍永胜[16] 0.04 0.14 36.12 37.61
3 Sarbishei等[9] 0.27 0.71 51.15 79.15
4 Ghanbari等[10] -0.68 -0.57 11.66 14.27
5 Ramezani等[11] -4.19 -4.30 245.74 285.29
6 Darvishpour等[6] 0.88 0.91 91.80 93.73
7 徐鹏等[12-13] 0.12 0.32 41.20 50.34
图7 主控指标和辅控指标

Fig.7 Main control index and auxiliary control index

结合上述对比分析可知:
(1)依据主控指标的分析结果,Bathurst、伍永胜、Sarbishei、Darvishpour和徐鹏提出的5种计算方法计算结果均处于保守区域内。而Ghanbari和Ramezani提出的2种方法则位于非保守区域。其中,伍永胜的方法与实测值的一致性最高,能更准确反映模块式和复合式加筋土挡墙的自振频率特征。相反,Ramezani方法与实测结果的差距最大,其计算结果大约是实测值的500%。
究其原因,伍永胜的方法认为加筋土挡墙的第一主振型主要表现为水平振动,且面板保持垂直状态;该方法采用的振动台试验输入地震动同样为水平方向,所需的参数较少,因此计算过程相对简便。相比之下,Ramezani方法基于土体为线弹性材料的假设,仅考虑了土体与基础间的相互作用,但忽略了面板形式的不同所导致的面板刚度差异,以及由此引发的面板变形模式变化等因素。故此,Ramezani方法更适合应用于地基土刚度较高的加筋土挡墙自振频率预测。
(2)依据辅控指标分析,Ghanbari方法表现最为出色,Ramezani方法表现最逊色。这说明Ghanbari方法更能有效地消除参数对解析计算法的影响,而Ramezani方法受到参数影响的程度较大。造成这一差异的原因在于Ghanbari方法充分考虑了加筋土挡墙的面板几何特性以及土体刚度对其自振频率的影响。
(3)基于主控指标与辅控指标进行联合误差分析,徐鹏方法呈现出较均衡的结果,表明该方法具备一定的稳健性和适应性。这一优势来源于徐鹏方法考虑了筋-土界面的相互作用,适用于均匀面板和非均匀面板。
(4)探讨Bathurst方法、Sarbishei方法和Darvishpour方法的计算结果位于保守区仍存在误差的原因,Bathurst方法在模块式与复合式结构上的计算精度仅次于伍永胜方法,对应的 κ值分别为0.06、0.16。尽管此方法在处理中砂时表现出了较高准确性,然而,本次试验采用的2种加筋土挡墙模型填充材料均为级配不良的中砂,由于回填土的具体参数各异,故产生了一定程度的误差。Sarbishei方法对于模块式与复合式的 κ值分别为0.27、0.71,其主要原因是采用了不同的白噪声输入形式,并忽视了模块间摩擦的耗散能效应,尽管如此,该方法对模块式的预测效果相对较好。Darvishpour计算结果仅为实测结果的10%左右,这主要是由于其面板形式、回填土特性以及数值模型参数与笔者验证模型存在显著差异,且在模型试验时加筋土挡墙两侧还受到了特定边界条件的约束,致使计算结果更加保守。

3 结论

本文基于振动台试验,建立了模块式和复合式两类大型加筋土挡墙模型,并将试验结果与现有计算方法进行对比,验证了计算方法的可行性。通过双指标对比分析,主要得出以下结论:
(1)在模块式加筋土挡墙和复合式格宾土工格栅加筋土挡墙的振动台模型中,加筋土挡墙位于不同高度处的自振频率基本一致。
(2)根据主控指标分析,伍永胜方法结果与实测值最为吻合;依据辅控指标分析表明,相较于已有的计算方法,Ghanbari方法能更有效减少参数变化对解析计算方法的影响,从而展现出更强的适应性。综合考虑主辅指标分析结果,徐鹏方法在准确性及适应性方面具备一定优势,应用范围更为广泛。
鉴于加筋土挡墙在地震荷载作用下存在损伤的可能,而自振频率对于此类挡墙的抗震设计具有重要意义,建议在施工前期以及竣工后,对加筋土挡墙的自振频率进行评估,并将自振频率与面板水平位移相结合,作为衡量结构损伤状态的指标之一。

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