Correlation between Rainfall and Runoff in Fuchun River Basin Based on Copula Functions and Kernel Density Estimation

YANG Sheng-mei; ZHU De-kang; CHENG Xiang; LI Bo; ZHU Yan-ze; MA Wen-sheng

doi:10.11988/ckyyb.20240068

Journal of Changjiang River Scientific Research Institute >

2025 , Vol. 42 >Issue 5: 43 - 49

DOI: https://doi.org/10.11988/ckyyb.20240068

Water Resources

Correlation between Rainfall and Runoff in Fuchun River Basin Based on Copula Functions and Kernel Density Estimation

YANG Sheng-mei ^,¹ ,
ZHU De-kang ² ,
CHENG Xiang ² ,
LI Bo ¹ ,
ZHU Yan-ze ² ,
MA Wen-sheng ²

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¹ Engineering Safety and Disaster Prevention Department,Changjiang River Scientific Research Institute,Wuhan 430010,China
² Fuchunjiang Hydropower Plant,State Grid Xinyuan Group Co.,Ltd.,Tonglu 311504,China

Received date: 2024-01-19

Revised date: 2024-03-29

Online published: 2024-12-26

Fold

Abstract

[Objective] Rainfall and runoff are two important hydrological variables in river basins, exhibiting the characteristic of random distribution. In-depth analysis of the relationship between rainfall and runoff holds significant importance for watershed flood risk management, water resource scheduling, and hydraulic engineering planning and design. [Methods] This study utilized the advantages of Copula functions in describing dependence relationships among random variables. First, a non-parametric kernel density estimation method was introduced, and four types of kernel density functions were used to characterize the marginal distributions of rainfall and runoff variables in the Fuchun River Basin. Subsequently, a bivariate Copula function was employed to establish a joint distribution model. Simulation performance for both marginal and joint distributions was validated using root mean square error (RMSE) and Euclidean distance. [Results] (1) By comparing the RMSEs between the estimated results using four kernel density functions (Gaussian, Uniform, Triangle, Epanechnikov) and the empirical frequencies of rainfall and runoff in the river basin, the Gaussian was found to have the smallest errors. The Gaussian was selected to estimate the marginal distributions of hydrological variables in the Fuchun River Basin, demonstrating higher simulation accuracy without relying on any distribution assumption.(2) By estimating the Kendall and Spearman rank correlation coefficients of the bivariate functions of Gaussian-Copula, t-Copula, Clayton-Copula, Frank-Copula, and Gumbel-Copula, and comparing them with the Kendall and Spearman rank correlation coefficients of the original observed data, it was found that Gaussian-Copula and Gumbel-Copula were closer to the observed data.(3) By calculating the Euclidean distance, the fitting performance of the Copula functions was evaluated. The Gumbel-Copula function was further selected as the optimal Copula function to describe the dependence structure between rainfall and runoff in the river basin. It revealed that the rainfall and runoff variables in the upper tail of the joint distribution were highly sensitive to changes, indicating strong correlation between annual rainfall and runoff extreme values in the river basin.(4) Further calculation of the upper tail correlation coefficient yielded a value of 0.758 3, indicating a 75.83% probability of both the annual rainfall and annual runoff reaching extreme values simultaneously. When an extreme value of rainfall occurs in a specific year in the river basin, runoff could be estimated based on the dependence relationship between rainfall and runoff in joint distribution established in this study. This provided a reference for flood risk management. [Conclusion] The Gaussian kernel function demonstrates excellent simulation performance for the marginal distributions of rainfall and runoff variables in the Fuchun River Basin, and the Gumbel-Copula function shows high goodness-of-fit for the joint distribution of rainfall and runoff. The findings of this study offer substantial implications for flood risk management and water resource scheduling in river basins, and provide a theoretical foundation for further research on rainfall-runoff stochastic simulation using Copula functions in the Fuchun River Basin. Additionally, they offer practical value for the calculation and analysis of hydrological variables and for the planning and design of hydraulic engineering in river basins.

Key words： Copula functions; kernel density estimation; correlation analysis; rainfall; runoff; Fuchun river basin

Cite this article

YANG Sheng-mei , ZHU De-kang , CHENG Xiang , LI Bo , ZHU Yan-ze , MA Wen-sheng . Correlation between Rainfall and Runoff in Fuchun River Basin Based on Copula Functions and Kernel Density Estimation[J]. Journal of Changjiang River Scientific Research Institute, 2025 , 42(5) : 43 -49 . DOI: 10.11988/ckyyb.20240068

开放科学(资源服务)标识码(OSID):

0 引言

流域水文过程是一种高度复杂的自然现象,由下垫面环境、气候条件、人类活动等共同影响,形成多维复杂体系,至今还无法完全掌握其中作用机制^[1]。随着城市化进程的加快及全球大气环流条件的改变,近年来,极值水文事件屡有发生,如2023年海河发生的“23·7”流域性特大洪水。流域降雨和径流的关系也由线性逐渐向半线性、非线性转变^[2]。深入分析流域降雨-径流关系对于流域水灾害风险应对、水资源调度管理及水工程规划设计有着重要的意义。

降雨和径流是流域2个重要的水文变量,具有随机特征。Copula函数概念及有关理论的提出,为研究表征随机变量之间的相关关系提供了一条很好的解决路径。目前,Copula函数广泛用于金融、水文、电力等多个领域,取得了较为丰硕的应用成果^[3-5]。在水文应用方面,熊立华等^[6]采用Copula联结函数模拟上下游两个水文站点的年最大洪水联合分布概率;肖义等^[7]构造了基于Copula函数的峰、量联合分布模型,将模拟得到的洪峰和洪量转化为洪水过程,从而为洪水随机模拟提出了一种新的方法;侯芸芸等^[8]基于Copula函数研究了洪峰、洪量、历时等洪水特征量之间的相关关系,并计算了三者之间联合概率分布;许斌等^[9]基于Copula函数研究分析了水文变异条件下鄱阳湖地区的干旱频率,并提出了应对措施和建议。尽管目前Copula函数在水文领域应用较为广泛,但针对富春江流域降雨和径流相关关系的研究成果较少。

基于Copula函数确定随机变量的联合分布,首先要假设各随机变量的边缘分布。然而对于水文随机变量究竟属于哪一种分布,目前还没有充足的论证^[10]。目前常见的几种作为随机变量分布的近似代替的理论线型,如皮尔逊III型、对数正态分布、概化极值分布等,都不是根据水文物理机制推导得到的,而是基于经验资料,从已知的数学频率函数中选取得到的。

基于上述分析,本文基于富春江流域1969—2020年共52 a的年降雨量和年径流量序列,利用非参数估计法不依赖于任何分布假设的优势,首先通过核密度概率函数模拟估计出流域降雨和径流的边缘分布,进一步构建富春江流域降雨-径流序列Copula联合分布模型,研究两者之间的相关关系。

1 研究区域概况

钱塘江流域面积为49 930 km²,干流长为605 km。主干流新安江发源于安徽省休宁县境的怀玉山主峰六股尖,流向自西向东,由西北向东南行经至新安江水库后,再东流至建德梅城与兰江汇合,称富春江。富春江水电站位于浙江省钱塘江中游桐庐县富春江七里泷峡谷的出口处^[11]。富春江流域水系如图1所示。

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图1 富春江流域水系

Fig.1 River system map of Fuchun River Basin

富春江水电站于1968年12月25日第一台机组发电,坝址控制流域面积31 645 km²,干流长309.8 km。上游主要支流新安江上的新安江水电站防洪库容47.3亿m³,该电站水库具备多年调节能力。兰江是钱塘江上游流域面积最大的支流,发源于浙、皖、赣交界的莲花尖,在梅城与新安江汇合入富春江。富春江水电站坝址以上扣除新安江水电站坝址以上部分的钱塘江流域称之为富春江流域。

富春江流域山地占61.5%,丘陵占23.7%,平原占14.8%,地形自西向东倾斜,山脉如黄山、天师山等主峰海拔高1 700 m;主要平原有金衢平原、休歙平原及部分肖绍平原。河流的坡降以上游较大,新安江平均坡降5.8‰,兰江坡降为2.5‰~5‰,梅城至坝址坡降约为1.5‰。流域属副热带季风气候,全年气候温和多雨,降雨多集中在3—9月份。流域径流主要由降水形成,最大洪水多出现在6月份,属峰面雨形成洪水。7—9月份,有时台风雨也会酿成大洪水。富春江流域属于雨水补给型河流,降水量的年际变化与径流一致^[12]。

2 数据来源及研究方法

2.1 数据来源

为了分析富春江流域降雨量与径流量间的相关性,本文选用富春江水库1969—2020年共52 a的实测入库流量资料及流域内18个雨量站点的降雨资料。选用的雨量站分别为梅城、三河、源口、大同、兰溪、龙游、步坑口、铜山源、衢州、常山、马金、双塔底、峡口、金华、大岩、永康、佛堂和安文,先通过泰森多边形方法计算得到各站点权重,进一步计算得到流域面雨量。各站点在流域内近似均匀分布,涵盖了丰枯周期,按照国家有关规定进行资料整编,代表性较好。

2.2 研究方法

2.2.1 Copula函数

Copula理论最早由Sklar^[13]在1959年提出,即将K维联合分布函数分解为K个边缘分布函数和一个Copula函数,假设有向量

(Z 1, Z 2, …, Z K)

,其函数关系可表示为^[14]

(1)

F (Z 1, Z 2, …, Z K) = C (F 1 (Z 1), F 2 (Z 2), …, F K (Z K)) 。

式中:

F 1 (Z 1) 、 F 2 (Z 2) 、 … 、 F K (Z K)

分别是随机变量

Z 1 、 Z 2 、 … 、 Z K

的连续边缘分布函数;

F (Z 1, Z 2, …, Z K)

是变量

Z 1 、 Z 2 、 … 、 Z K

的联合分布函数;

C

为Copula连接函数,用来定量刻画K个随机变量之间的相关性。

假设富春江流域的降雨量用随机变量A表示,径流量用随机变量B表示,则富春江流域降雨量和径流量之间的联合分布函数为

F (A, B), F A (a)

和

F B (b)

分别是A和B的连续边缘分布函数。富春江流域降雨和径流之间的相关性函数关系可以表示为

(2)

F (A, B) = C (F A (a), F B (b)) 。

式中

C

即为富春江流域降雨和径流联合分布Copula函数,表征两变量之间的相关性。

选择合适的Copula函数,对于科学阐述变量间的连接关系尤为重要。目前常用的Copula函数有Gaussian-Copula函数、t-Copula函数、Clayton-Copula函数、Frank-Copula函数及Gumbel-Copula函数等,其函数关系式如表1^[15]所示。

表1 常用的二元Copula函数的结构表达式^[15]

Table1 Structural expressions of common bivariate Copula functions^[15]

函数名称	函数结构表达式
Gaussian-Copula	$∫ - ∞ Φ - 1 (u) ∫ - ∞ Φ - 1 (v) 1 2 π 1 - α 2 · e x p - s 2 - 2 α s t + t 2 2 (1 - α 2) d s d t$	u、v为二元变量; s、t为积分变量; $k$ 为t-Copula函数的自由度; $α$ 为Copula函数的参数; $Φ - 1$ 为标准正态分布的分位数函数
t-Copula	$∫ - ∞ t k - 1 (u) ∫ - ∞ t k - 1 (v) 1 2 π 1 - α 2 · 1 + s 2 - 2 α s t + t 2 k (1 - α 2) - k + 2 2 d s d t$
Clayton-Copula	$m a x (u - α + v - α - 1) - 1 / α, 0$
Frank-Copula	$- 1 α l n 1 + (e - α u - 1) (e - α v - 1) e α - 1$
Gumbel-Copula	$e x p - [(- l n u) α + (- l n v) α] 1 / α$

2.2.2 核密度函数估计方法

随机变量总体分布推求方法包括参数法和非参数法。参数法是已知随机变量服从某种分布,但分布的具体参数未知,需要进行参数估计和假设检验,最后求出总体分布。而对于总体分布未知的情形,则要采用非参数估计的方法,其优点是不依赖于任何分布的假设。核密度函数估计法是较常用的非参数估计方法,首先采用核函数推求概率密度函数,再根据核估计概率密度函数推求样本的边缘分布函数。

假设

m

个样本点

x 1, x 2, …, x m

来自一元连续总体分布

X

,总体概率密度函数为

f (x)

,其核密度估计函数可表示为^[15]

(3)

f ∧ h (x) = ∑ i = 1 m K x - x i h h m 。

式中:

f ∧ h (x)

是

f (x)

的核密度估计函数;

K (·)

为核函数,且

∫ - ∞ + ∞ K (x) d x = 1

,常用的核函数包括Gaussian、Uniform、Triangle及Epanechnikov;

h

为窗宽或带宽(

h > 0

);

m

为样本点的个数。

2.2.3 相关性度量指标

本文选择Kendall秩相关系数

μ

、Spearman秩相关系数

ε

和尾部相关系数

ζ

作为富春江流域降雨量与径流量联合分布相关性度量指标。

令

x = F A (a)

、

y = F B (b)

F A (a) 、 F B (b) ~ U (0,1)

,富春江流域降雨量-径流量的联合分布Copula函数记为

C (x, y)

,则相关系数

μ

、

ε

和

ζ

与

C (x, y)

有如下关系:

(4)

μ = 4 ∫ 01 ∫ 01 C (x, y) d C (x, y) - 1,

(5)

ε = 12 ∫ 01 ∫ 01 C (x, y) d x d y - 3,

(6)

ζ 上 = l i m x → 1 - 1 - 2 x + C (x, x) 1 - x,

(7)

ζ 下 = l i m x → 0 + C (x, x) x 。

式中

ζ 上 、 ζ 下

分别表示降雨量和径流量联合分布的上尾相关系数和下尾相关系数。

对于实测降雨序列

A (a 1, a 2, …, a n)

和实测径流序列

B (b 1, b 2, …, b n)

A

和

B

的Kendall秩相关系数

μ (A, B)

、Spearman秩相关系数

ε (A, B)

的计算式分别为:

(8)

μ (A, B) = c - d 12 n (n - 1),

(9)

ε (A, B) = 1 - 6 ∑ i = 1 n (a i - b i) 2 n (n 2 - 1) 。

式中:

n

表示降雨或径流序列的总长度,本文

n = 52; a i

为降雨量观测值;

b i

为径流量观测值;

c 、 d

分别表示

A 、 B

两序列中一致对和分歧对的个数,

(a 2 - a 1) (b 2 - b 1) ≥ 0

表示一致对,

(a 2 - a 1) (b 2 - b 1) < 0

则表示分歧对。

2.2.4 拟合优度检验

本文采用均方根误差(RMSE)和欧式距离对核密度函数的模拟效果和Copula函数的拟合优度进行评价。RMSE越小,说明对应的核密度函数的估计效果越优;欧式距离最小,说明所对应的Copula函数为最优的变量联合分布拟合函数,可以用于描述富春江流域降雨和径流的联合分布特征。RMSE和欧式距离的计算式分别为:

(10)

R M S E = ∑ i = 1 n [F e (i) - F t (i)] 2 n,

(11)$d\left(C, C_{\mathrm{emp}}\right)=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left[C\left(x_{i}, y_{i}\right)-C_{\mathrm{emp}}\left(x_{i}, y_{i}\right)\right]^{2}},$

(12)

C e m p (u, v) = 1 n ∑ i = 1 n I [F A (a i) ≤ x] I [F B (b i) ≤ y] 。

式中:

F e (i)

是经验频率;

F t (i)

是核密度函数的模拟频率;

C e m p (x, y)

为经验Copula函数,与原始观测值有关;

I [·]

为示性函数;

F A 、 F B

分别表示A、B变量的边缘分布函数。

3 结果分析

3.1 年降雨、年径流基本特征

在富春江流域1969—2020年逐年降雨量和径流量样本数据中,平均年降雨量1 628 mm,最大年降雨量2 167 mm,最小年降雨量1 082 mm;平均年径流量286.39亿m³,最大年径流量438.85亿m³,最小年径流量102.06亿m³;最大的年降雨量和年径流量分别出现在2010年和2015年;最小的年降雨量和年径流量分别出现在1978年和1979年。将富春江流域52 a的降雨径流数据进行排序,绘制降雨径流关系图,如图2所示。进一步根据式(8)—式(9),计算富春江流域降雨径流实测序列的Kendall秩相关系数和Spearman秩相关系数,分别为0.656 1和0.850 3,说明富春江流域降雨和径流之间存在着较强的相关关系。

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图2 富春江流域1969—2020年降雨-径流关系

Fig.2 Rainfall-runoff relationship in Fuchun River Basin (1969-2020)

3.2 水文变量边缘分布的确定

采用非参数核密度估计方法,分别采用Gaussian、Uniform、Triangle、Epanechnikov等4种不同的核密度函数,对水文变量进行模拟(图3),优选确定核密度估计分布函数,从而求出富春江流域年降雨量和径流量的边缘分布函数。由图3可以看出,Gaussian、Triangle、Epanechnikov的模拟效果较为光滑,Uniform模拟曲线不光滑,呈锯齿状。

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图3 富春江流域年降雨量和年径流量的核密度估计函数分布

Fig.3 Distribution of kernel density estimation functions of annual rainfall and runoff in Fuchun River Basin

为进一步检验4种核密度估计函数的模拟效果,对4种核密度估计函数结果与富春江流域水文变量经验频率之间的均方根误差(RMSE)进行统计,如表2所示。

表2 4种核密度函数模拟结果均方根误差(RMSE)

Table 2 RMSEs of simulation results for four kernel density functions

水文变量	不同核密度函数下的RMSE
水文变量	Gaussian	Uniform	Triangle	Epanechnikov
降雨量	0.000 500	0.000 538	0.000 502	0.000 520
径流量	0.001 912	0.002 090	0.001 933	0.002 009

从表2可以看出,4种核密度函数的模拟结果误差相差不大,均较小,表明4种核密度函数都能对富春江流域的降雨和径流经验频率进行较好地模拟。其中,Gaussian与Triangle的RMSE值相对小一些,Gaussian略优于Triangle。故本文最终选择Gaussian核密度函数对富春江流域水文变量边缘分布进行估计,如图4所示。由图4可以看出,Gaussian核密度函数对降雨、径流水文变量的边缘分布拟合效果较好,Gaussian核密度函数估计不依赖于任何分布的假设。

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图4 富春江流域年降雨量和年径流量的边缘分布估计

Fig.4 Marginal distribution estimation of annual rainfall and runoff in Fuchun River Basin

3.3 Copula参数估计及拟合判别

根据富春江流域降雨变量A的边缘分布

X = F (a)

和径流变量B的边缘分布

Y = F (b)

,结合表1中Copula函数表达式,通过多次迭代试算,估计出二元Gaussian-Copula、t-Copula、Clayton-Copula、Frank-Copula、Gumbel-Copula函数的参数及相应的Kendall与Spearman秩相关系数,如表3所示。

表3 二元Copula函数中的参数及对应的秩相关系数

Table 3 Parameters and corresponding rank correlation coefficients in bivariate Copula functions

Copula函数类型	参数 $α$	Kendall秩相关系数 $μ$	Spearman秩相关系数 $ε$
Gaussian	0.872 1	0.674 5	0.861 8
t	0.905 3	0.720 7	0.897 1
Clayton	11.555 2	0.603 5	0.790 0
Frank	3.201 3	0.703 1	0.889 5
Gumbel	3.043 8	0.687 6	0.866 2

将二元Copula函数中的Kendall秩相关系数和Spearman秩相关系数与降雨、径流原始观测数据相应的秩相关系数(

μ = 0.6561 、 ε = 0.8503

)进行对比,发现Gaussian-Copula、Gumbel-Copula与原始观测数据的相关系数更为接近,初步认为Gaussian-Copula、Gumbel-Copula两个Copula函数更加适用于联合分布模型的构建。

为进一步确定最优的降雨-径流联合分布函数,根据式(11)—式(12)计算欧式距离,对各Copula函数的拟合优度进行判别,如表4所示。

表4 二元Copula函数的欧式距离计算结果

Table 4 Calculation results of Euclidean distance for bivariate Copula functions

Copula函数	Gaussian	t	Clayton	Frank	Gumbel
欧式距离	0.017 3	0.018 4	0.051 2	0.017 7	0.013 6

由表4可以看出,Gumbel-Copula函数的欧氏距离最小,为0.013 6。根据距离越小拟合效果越优的原则,Gumbel-Copula函数对降雨和径流联合分布的拟合效果最优。综上所述,本文最终选取Gumbel-Copula函数用于构建富春江流域年降雨和年径流的联合分布模型,其结构表达式为$\exp \left\{-\left[(-\ln x)^{3.0438}+(-\ln y)^{3.0438}\right]^{1 / 3.0438}\right\}$(x、y分别表示流域降雨、径流的边缘分布),并利用其对应的概率密度函数定量描述流域年降雨和年径流的相关关系,如图5所示。

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图5 富春江流域降雨径流Gumbel-Copula联合分布函数和对应的概率密度函数

Fig.5 Gumbel-Copula joint distribution function and corresponding probability density function for rainfall and runoff in Fuchun River Basin

由图5(b)可知,富春江流域降雨径流二变量联合分布的概率密度函数整体呈“J”字形,尾部不具备对称特征,上尾高,下尾低,说明流域的年降雨和年径流在上尾部比较敏感,进一步表明该流域年降雨和年径流在极大值区域高度相关。根据式(6)计算上尾相关系数,其值为0.758 3。也就是说,该流域年降雨量和径流量同时出现极大值的可能性为75.83%,具有高度相关性。当流域某年降雨出现极大值时,据本文所构建降雨径流联合分布相关关系,可由流域降雨预估径流量,为水灾害风险应对提供参考依据。

4 结论

本文以富春江流域1969—2020年共52 a的年降雨量和年径流量序列为基础,分析了流域水文变量基本特征,利用非参数估计法不依赖于任何分布假设的优势,采用核密度估计的非参数方法确定了流域降雨量和径流量两变量的边缘分布,据此进一步估计优选确定了流域降雨径流联合分布Gumbel-Copula函数,捕捉到降雨径流二变量联合分布的上尾相关变化,进一步计算得到上尾相关系数为0.758 3,从而得出流域降雨和径流同时出现极大值的可能性为75.83%,实现了流域水文变量相关关系的定量表征。这一研究结果符合富春江流域降水量年际变化与径流一致的流域水文特征。

研究成果对流域水灾害风险应对、水资源调度管理具有重要意义,可为进一步研究基于Copula函数的富春江流域降雨径流随机模拟提供理论基础,对于流域水文变量计算分析、水工程规划设计具有实用价值,在未来研究气候变化以及流域下垫面人类活动影响下的降雨径流演变规律方面具有广阔的应用前景。

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0 引言

1 研究区域概况

图1 富春江流域水系

2 数据来源及研究方法

2.1 数据来源

2.2 研究方法

2.2.1 Copula函数

表1 常用的二元Copula函数的结构表达式[15]

2.2.2 核密度函数估计方法

2.2.3 相关性度量指标

2.2.4 拟合优度检验

3 结果分析

3.1 年降雨、年径流基本特征

图2 富春江流域1969—2020年降雨-径流关系

3.2 水文变量边缘分布的确定

图3 富春江流域年降雨量和年径流量的核密度估计函数分布

表2 4种核密度函数模拟结果均方根误差(RMSE)

图4 富春江流域年降雨量和年径流量的边缘分布估计

3.3 Copula参数估计及拟合判别

表3 二元Copula函数中的参数及对应的秩相关系数

表4 二元Copula函数的欧式距离计算结果

图5 富春江流域降雨径流Gumbel-Copula联合分布函数和对应的概率密度函数

4 结论

References

表1 常用的二元Copula函数的结构表达式^[15]