Medical Journal of the Chinese People's Armed Police Forces

Journal of Changjiang River Scientific Research Institute >

2024 , Vol. 41 >Issue 12: 101 - 108

DOI: https://doi.org/10.11988/ckyyb.20230775

Rock-Soil Engineering

Probability Distribution Law of Physical and Mechanical Property Indexes of Expansive Soil: A Case Study from Ankang Area

  • GUO Rui , 1 ,
  • ZHANG Jian-hua 2 ,
  • LI Jun-xiang 3 ,
  • FENG Xu-ming 4 ,
  • LI Wen-qiang 1
Expand
  • 1 School of Civil Engineering and Architecture, Shaanxi University of Technology, Hanzhong 723001, China
  • 2 China Southwest Geotechnical Investigation & Design Institute Co., Ltd., Chengdu 610052, China
  • 3 Schoolof Mechanical Engineering & Automation, Wuhan Textile University, Wuhan 430200, China
  • 4 Guangdong Zhenzheng Construction Engineering Testing Company Limited, Guangzhou 510530, China

Received date: 2023-07-17

  Revised date: 2023-11-22

  Online published: 2024-12-24

Fold

Abstract

In this study, we analyzed the distribution patterns and ranges of expansive soil indices through an engineering case study in Ankang, Shaanxi Province. By utilizing mathematical statistical models, specifically the Normal, Gamma, Weibull, and Lognormal distributions, we aimed to gain a deeper understanding of these indices. To validate our findings, we conducted the Kolmogorov-Smirnov (K-S) test, which allowed us to confirm the distribution of the indices and further elucidate the physical and mechanical properties of expansive soil. Our results revealed notable trends: the dry density index exhibited minimal deviation with a right skew, closely aligning with the Normal distribution. Conversely, the expansion rate demonstrated the greatest deviation and a left skew, indicating its heightened sensitivity to other indices. We also observed that the Lognormal distribution adeptly captured the patterns of water content and void ratio, while the Normal distribution provided an accurate representation of dry density. The Weibull distribution, on the other hand, excelled in describing the distributions of liquid limit, plastic limit, plasticity index, expansion rate, and expansion force in expansive soil. When compared to the traditional average method, our approach by utilizing the peak parameter values from the optimal distribution functions of various indices offers a more precise evaluation of the physical and mechanical properties of expansive soil. The findings serve as valuable guidance for comprehending regional expansion deformation and enhancing engineering design and construction practices.

Key words： expansive soil; physical-mechanical indexes; distribution law; mathematic statistics; Kolmogorov-Smilov test

Cite this article

GUO Rui , ZHANG Jian-hua , LI Jun-xiang , FENG Xu-ming , LI Wen-qiang . Probability Distribution Law of Physical and Mechanical Property Indexes of Expansive Soil: A Case Study from Ankang Area[J]. Journal of Changjiang River Scientific Research Institute, 2024 , 41(12) : 101 -108 . DOI: 10.11988/ckyyb.20230775

开放科学(资源服务)标识码(OSID):

0 引言

土体的物理力学指标是进行岩土工程设计的基本参数,而确定参数的概率分布规律则是分析岩土工程风险性与可靠性的基础[1]。已有研究结果表明,黏土体的物理力学指标具有一定分布特征。陈立宏等[2]研究发现一般情况下土体的黏聚力和内摩擦角均接受正态分布和对数正态分布。李远耀等[3]对三峡库区滑带土抗剪强度参数分布特征研究发现滑带土体的黏聚力c、内摩擦角φ值中一般均接受正态和对数分布。李刚等[4]对大连离岸式人工岛地基成因沉积土指标概率分布研究发现土体的重度、含水率、孔隙比等指标服从正态或近似正态分布。刘先峰等[5]研究发现土体参数的概率密度分布函数形状基本为单峰,且与基本物理参数相比其强度指标更符合对数正态分布。
膨胀土是一种具有多裂隙、吸水膨胀、失水收缩及强度衰减等特性的高塑性黏土[6-7],在世界范围内广泛分布。陕西安康作为我国膨胀土分布典型区域之一,区域内膨胀土分布面积较广,多属黏性土,吸水膨胀失水收缩性表现尤为显著[8]。膨胀土胀缩变形不仅与土体中所含矿物质有关外,亦与其物理力学性质指标密切相关。谭罗荣等[9]研究发现膨胀土的膨胀力和膨胀率与干密度和含水量等呈幂指数关系。高英等[10]研究发现膨胀土的液限对膨胀力影响最大,对含水量和干密度的影响次之。董文萍等[11]研究发现膨胀土样峰值强度摩擦角随液限增加而逐渐减小,且残余强度摩擦角呈多项式减小变化趋势。对土体物理力学指标参数的合理选择及离散性评价直接影响工程的安全性和经济性,而确定其参数概率分布类型是风险与可靠性分析中的重要环节。膨胀土作为黏性土的典型代表之一,现有研究中有关其物理力学指标概率分布特征的研究较少。
膨胀土在空间分布上呈现出各向异性和不均匀性[10],致使土体物理力学指标存在一定差异,在工程可靠度和风险性分析中,土体物理力学指标选择合理与否及离散性评价方法对工程安全和经济性影响较大。正态分布简单实用,在土体可靠度等分析中被广泛采用,但已有研究发现土体物理力学指标不全符合正态分布规律[12]。为探究膨胀土物理力学性质指标分布规律、确定出其分布范围及合理评价方法,结合陕西安康地区某工程实例,对膨胀土主要指标分布规律进行了统计分析。

1 研究区概况

陕西安康位于秦岭南麓,南依巴山北坡,北靠秦岭主脊,属亚热带大陆性季风气候,降雨充沛,气候温和,为典型丘陵地貌,地质构造由秦岭印支褶皱带和北西走向大巴山弧形褶皱带复合交接组成,以紧密褶曲和压扭性断裂为主,局部发育有小规模背、向斜节理及裂隙。研究区位于安康盆地北部,南距月河断裂带约15 km,受地质构造影响微弱,地形整体呈西高东低走势,地表起伏较大,最大高差13.75 m,区域地貌单元属汉江左岸Ⅲ级阶地。根据现场钻探揭露,场地地层自上而下依次为第四系全新统( Q 4 m l)素填土、杂填土,以及第四系上更新统冲积( Q 3 a l)粉质黏土、卵石等,其典型地层剖面如图1所示。
图1 研究区内典型地质剖面

Fig.1 Typical geological profile of the study area

2 数据来源与分析方法

2.1 数据来源

为保证测试结果准确可靠,沿拟建建筑物边线及角点均匀布置勘探点126处(如图2所示),其中采样点78处,采样点间距10~30 m,采用XY-1型钻探机取样,不同标高处测试土样详情如下。①323.66~331.32 m处粉质黏土:黄褐色,硬塑-坚硬,含少量铁锰质斑点及钙质结核,具有弱膨胀性,压缩系数平均值0.357 MPa-1。②317.87~324.83 m处粉质黏土:灰褐色,可塑-坚硬,含少量铁锰质斑点及钙质结核,压缩系数平均值0.387 MPa-1。③301.92~310.44 m处粉质黏土:红褐色,可塑-坚硬,含少量铁锰质斑点及钙质胶结物,压缩系数平均值0.328 MPa-1,地层岩性如图1所示。采取岩土芯样长度≥80 mm,同一孔内不同深度采样竖向间距1.0~1.5 m,将采取土样削制成直径50~55 mm圆柱状,用保鲜膜密封后装入取样桶内贴好标签送至实验室恒温室。取出待测指标所需数量土样,严格按照《土工试验方法标准》(GB/T 50123—1999)[13]和《公路土工试验规程》(JTG E40—2007)[14]中操作方法和要求开展膨胀土物理力学性质指标试验测试。
图2 采样点平面位置分布

Fig.2 Plan view of the distribution of sampling locations

2.2 研究方法

膨胀土的各向异性和非均匀性致使其物理力学性质指标具有随机性和不确定性,而概率分布函数是研究随机变量的重要工具[15]。本文采用正态分布等概率分布函数,在显著水平0.05条件下对膨胀土不同指标分布规律进行拟合,并采用柯尔莫哥洛夫-斯米洛夫(Kolmogorov-Smilov test, K-S)检验法。K-S检验方法基于累计分布函数,可用于检验一个经验分布是否符合某种理论分布。

2.2.1 概率分布函数

2.2.1.1 正态分布

正态分布包括概率密度函数和累计概率函数2种形式,其中正态分布概率密度函数f(x)为
$ f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \exp \left[-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}\right],-\infty<x<+\infty \text { 。 }$
式中:x为样本值;μ为正态分布的期望值;σ为正态分布的标准差。对式(1)进行积分则可得其累计概率函数F(x),即
$ F(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \int_{-\infty}^{x} \exp \left(-\frac{(t-\mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}\right) \mathrm{d} t$
式中t为变量。

2.2.1.2 威布尔分布

威布尔分布的概率密度函数f(x)为
f ( x ) = β η x η β - 1 e x p - x η β , 　 x > 0 　 。
式中:x为样本值;β为威布尔分布的形状参数;η为威布尔分布的尺度参数。对式(3)进行积分则可得其累计概率函数F(x),即
$ F(x)=\int_{-\infty}^{x} \frac{\beta}{\eta}\left(\frac{t}{\eta}\right)^{\beta-1} \exp \left(-\left(\frac{t}{\eta}\right)^{\beta}\right) \mathrm{d} t$

2.2.1.3 对数正态分布

对数正态分布的概率密度函数f(x)为
f ( x ) = 1 2 π σ x e x p - l n x - μ 2 2 σ 2 , 　 x > 0 　 。
对式(5)进行积分则可得其累计概率函数F(x),即
$F(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma x} \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{t} \exp \left(-\frac{(\ln t-\mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}\right) \mathrm{d} t$

2.2.1.4 伽马分布

伽马分布的概率密度函数f(x)为
$f(x)=\frac{\beta x^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)} \mathrm{e}^{-\beta x}, \Gamma(\alpha)=\int_{0}^{\infty} x^{\alpha-1} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x, x>0$
式中:x为样本值;α为伽马分布形状参数;β为伽马分布尺度参数。对式(7)进行积分则可得其累计概率函数F(x)为
$\begin{array}{c} F(x)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)} \gamma(\alpha, \beta x), \Gamma(\alpha)=\int_{0}^{\infty} x^{\alpha-1} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x(x>0), \\ \gamma(\alpha, \beta x)=\int_{0}^{x} t^{s-1} \mathrm{e}^{-t} \mathrm{~d} t \end{array}$

2.2.2 K-S检验

为确定膨胀土不同物理力学指标最优拟合分布函数,采用K-S对各指标在不同拟合函数中的显著性进行检验,基本思路为对于容量为n的样本xi(i=1,2,…,n),将其按数值由小到大排列,可得到该样本的经验分布函数Fn(x)。考虑到对于观测样本中每一个xi,经验分布Fn(x)与实际分布F0(x)之间的偏差,故构造统计量
$D_{n}=\max _{-\infty<x<+\infty}\left[F_{n}(x)-F_{0}(x)\right]<D_{n, \alpha}$
式中:Dn为依赖于样本容量n的随机变量;Dn,α为显著性水平为α的临界值,其值越大表明相应变量与实际分布愈接近。

3 膨胀土物理力学性质指标统计分析

3.1 膨胀土物理力学性质指标测试结果

根据上述土样采取和测试方法,从研究区内采取了134组膨胀土土样,分别测试其含水率(ω)、干密度(ρd)、孔隙比(e)、液限(Wl)、塑限(Wp)、塑性指数(Ip)、膨胀率(δe50)及膨胀力(Pe)等主要物理力学性质指标,并进行了统计分析,结果见表1。
表1 膨胀土主要物理力学性质指标统计结果

Table 1 Test data of physical and mechanical indexes of expansive soil

数据
类型		 物理指标 力学指标
含水率
ω/%		 干密度ρd/
(g·cm-3)		 孔隙比
e		 液限
WL/%		 塑限
Wp/%		 塑性指数
Ip		 膨胀率
δe50/%		 膨胀力
Pe/kPa
最大值 23.20 1.69 0.83 30.40 17.90 12.50 0.36 85.00
最小值 15.30 1.48 0.61 26.90 16.30 10.60 0.10 51.00
平均值 19.44 1.58 0.71 28.86 17.19 11.67 0.25 66.44
标准差 1.92 0.04 0.05 0.90 0.40 0.50 0.05 7.11
变异系数 9.87 2.71 6.49 3.12 2.35 4.26 20.73 10.70
峰度值 2.31 2.46 2.42 2.36 2.37 2.36 3.60 2.83
偏度值 0.20 0.02 0.03 -0.33 -0.30 -0.35 -0.42 -0.37

注:变异系数、峰度值和偏度值量纲均为一。

由表1可知,膨胀土样各指标平均值分别为:含水率19.42%、干密度1.58 g/cm3、孔隙比0.72、液限28.86%、塑限17.19%、塑性指数11.66、膨胀率0.25%、膨胀力66.44 kPa。物理性质指标中离散性最小的为干密度,其标准差值0.04 g/cm3,与其他指标相比分布较为集中,离散性较大的为含水率,其标准差值为1.92%,远大于其他指标。力学性质指标中与膨胀力相比,膨胀率的离散性较小,其标准差值为0.05%,分布较为集中;物理性质指标中最接近正态分布的为干密度,偏度值0.02,呈右偏,而偏离正态分布最大的指标为含水率,偏度值0.20,亦呈右偏;液限、塑限及塑性指数亦偏离正态分布,偏度值均为负,均呈左偏。力学性质指标中膨胀率的偏度值(-0.42)最大且为负,为左偏。由表1可知,各指标的峰度值均<3,分布形态均较为平坦,膨胀率的变异系数值较大。

3.2 膨胀土物理力学性质指标概率密度

将膨胀土样物理力学性质指标对应的4种概率密度函数的参数(μ和σ)值,分别代入2.2.1节概率分布函数中可得各指标概率密度分布曲线,如图3所示。为分析不同指标在不同概率密度函数条件下的显著特性,分别计算与其相应概率值P,见表2。
图3 膨胀土主要物理力学性质指标的概率密度曲线

Fig.3 Probability density curves of main physical and mechanical indexes of expansive soil

表2 安康膨胀土物理力学指标统计参数及显著性检验结果

Table 2 Statistical parameters and significance test results of physical and mechanical indexes of expansive soil in Ankang

指标 正态分布 伽马分布 威布尔分布 对数正态分布
μ σ P μ σ P μ σ P μ σ P
ω 19.419 1.923 0.050 103.095 0.188 0.050 20.302 10.830 <0.050 2.961 0.099 0.410
ρd 1.581 0.043 0.320 1 358.750 0.001 0.050 1.602 38.316 <0.050 0.458 0.027 0.050
e 0.715 0.047 0.370 236.731 0.003 0.340 0.737 16.588 0.080 -0.337 0.065 0.740
WL 28.856 0.904 0.080 1 019.850 0.028 <0.050 29.280 37.253 0.170 3.362 0.032 <0.050
Wp 17.190 0.410 <0.050 1 798.560 0.010 <0.050 17.380 48.880 0.240 2.840 0.020 <0.050
Ip 11.665 0.499 <0.050 543.893 0.021 <0.050 11.896 27.502 0.120 2.456 0.043 <0.050
δ 0.244 0.050 <0.050 20.486 0.012 <0.050 0.263 5.581 0.070 -1.437 0.234 0.050
Pe 66.939 7.135 <0.050 85.213 0.786 0.070 70.052 10.799 0.400 4.198 0.110 <0.050

注:P<0.05表明拒绝假设,P>0.05表明接受假设。

从图3可知,膨胀土样各指标概率密度分布直方图整体均呈现出先增大后减小变化趋势,类似于“钟型”,且不同土性参数均存在明显偏大峰值概率密度。结合概率密度频率计算方法和不同指标测试数据值,分析其原因为对于膨胀土的不同物理力学指标参数,试验测试数据落入该峰值区间内的数量较多,故在该区间范围内出现偏大峰值概率密度。对于4种概率密度分布函数,与其相应膨胀土样各指标数据的概率密度曲线整体上均呈现出与直方图相同变化趋势,即先增大后减小。但对于相同指标,不同概率密度分布函数曲线的拟合效果存在一定差异。由图3(a)和图3(c)可知,对数正态分布函数曲线能够更好地描述其数据分布规律,拟合效果最优,在显著水平0.05条件下,其分布范围分别为15.86%~23.84%和0.62~0.82;从图3(b)可知,对于干密度指标,正态分布函数拟合效果最佳,能够更好地描述干密度指标数据的分布情况,在显著水平0.05条件下,与其相应指标分布范围值为1.50~1.66 g/cm3。由图3(d)—图3(h)可知,威布尔函数能够更好地描述膨胀土的液限、塑限、塑性指数、膨胀率及膨胀力等指标数据的分布特征,拟合效果最优,且在显著水平0.05条件下,各指标数据的分布范围分别为26.53%~30.32%、16.12%~17.85%、10.50~12.48、0.13%~0.33%、50~79.05 kPa。上述各土性指标数据分布规律与表2中显著性检验结果相一致。

3.3 膨胀土物理力学性质指标累计分布特征

将表2中不同指标的概率密度分布函数的参数代入2.2.1节相应累计概率函数计算模型中,可得不同指标的实际和经验分布累计概率密度曲线,如图4所示。基于2.2.2节K-S检验方法,计算膨胀土各物理力学性质指标经验分布与实际分布的偏差值(Dn,α),计算结果见表3。
图4 安康膨胀土主要物理力学性质指标的累计概率曲线

Fig.4 Cumulative probability curves of main physical and mechanical indexes of expansive soil in Ankang

表3 安康膨胀土主要物理力学指标的偏差值(Dn,α)

Table 3 Deviations (Dn,α) of main physical andmechanical property indexes for expansive soil in Ankang

分布类型 正态分布 伽马分布 威布尔分布 对数正态分布
ω 0.110 5 0.132 5 0.134 3 0.089 6
ρd 0.081 9 0.992 5 0.498 8 1.000 0
e 0.070 5 0.080 6 0.100 9 0.058 1
Wl 0.108 6 0.671 3 0.087 8 0.142 2
Wp 0.116 8 0.686 5 0.080 6 0.215 9
Ip 0.127 6 0.699 4 0.093 5 0.182 6
δe50 0.122 7 0.422 0 0.110 4 0.148 4
Pe 0.119 6 0.112 2 0.076 6 0.131 0
从图4可以看出,采用正态分布、伽马分布、威布尔分布及对数正态分布累计概率函数拟合所得曲线与各指标实际分布曲线的变化趋势整体上一致,但其偏差程度有所差异。由图4(a)可知,除威布尔分布外,正态分布、伽马分布及对数正态分布均可较好地描述含水率端部和截尾处数据整体分布情况,但对于中部累计概率峰值处数据分布情况的描述存在一定偏差。结合表3检验结果可知,对数正态分布拟合效果最好,其与该指标数据实际分布的偏差程度最小,故宜采用对数正态分布描述膨胀土含水率数据分布特征。由图4(b)和图4(c)可知,除威布尔分布外,其他3种累计概率函数模型与干密度和孔隙比数据的实际分布情况相契合,且三者几乎具有相同拟合效果。但由表3检验结果可知,采用正态分布和对数正态分布描述干密度和孔隙比的数据分布特征,其与实际分布的偏差程度最小,故可采用正态分布和对数正态分布描述膨胀土干密度和孔隙比的数据分布规律。图4(d)—图4(h)累计概率分布曲线表明,正态分布、伽马分布、威布尔分布、对数正态分布均可较好地描述液限、塑限、塑性指数、膨胀率及膨胀力等指标的数据分布特征,且正态分布、伽马分布及对数正态分布几乎具有相同拟合效果。在相同条件下,威布尔分布与液限、塑限、塑性指数、膨胀率及膨胀力等指标的端部、截尾及中部数据实际分布的拟合效果最好,其与表3检验结果和3.2节中各指标概率密度拟合结果相一致,故对于膨胀土的液限、塑限、塑性指数、膨胀率及膨胀力等指标宜选用威布尔分布描述其数据分布特征。

3.4 膨胀土物理力学性质指标评价方法探讨

膨胀土在空间分布上呈现出各向异性和不均匀性[16],致使物理力学指标存在一定差异。通常采用基于正态分布的多组数据的平均值作为不同指标的评价方法,该方法通常被应用于工程建设中。然而已有学者研究表明土体的物理力学性质指标并不完全服从正态分布,为探究膨胀土物理力学性质指标合理评价方法,基于上述研究结果,本文对采用平均值和与概率密度函数峰值对应指标值两种评价膨胀土物理力学指标的方法进行了对比分析,结果见表4。
表4 不同评价方法膨胀土主要物理力学指标参数

Table 4 Parameters of different evaluation methods for main physical and mechanical property indexes of expansive soil

指标 分布类型 概率密度
函数峰值
处指标值		 试验
平均值		 试验数据
频率峰值区间
ω/% 对数正态分布 19.10 19.42 [18.60,19.00]
ρd/(g·cm-3) 正态分布 1.58 1.58 [1.50,1.59]
e 对数正态分布 0.70 0.72 [0.68,0.71]
WL/% 威布尔分布 29.30 28.86 [29.20,29.94]
Wp/% 威布尔分布 17.40 17.19 [17.35,17.42]
Ip 威布尔分布 11.61 11.66 [11.50,16.10]
δe50/% 威布尔分布 0.24 0.25 [0.23,0.24]
Pe/kPa 威布尔分布 72.00 66.44 [68.00,70.00]
由表4可知,采用不同评价方法描述膨胀土主要物理力学性质指标具有显著的差异性。对于膨胀土含水率指标,采用与对数正态分布概率密度峰值对应参数评价时,数据主要分布在19.10%附近,而采用试验平均值评价时,数据则主要分布在19.42%附近。将2种评价方法所得结果与实测试验数据频率区间比较可知,采用平均值法评价膨胀土含水率指标与实测数据存在一定误差,二者相差0.42%,而与对数正态分布概率密度峰值对应参数值与实测数据符合较好;对于膨胀土干密度、孔隙比及膨胀率指标,采用两种方法均可评价其数据分布状况,且其主要集中在1.58 g/cm3、0.72及0.25%附近;对于液限、塑限、塑性指数及膨胀力指标,采用与威布尔分布概率密度峰值对应指标值评价时,各指标数据主要分布在29.3%、17.4%、11.61及72 kPa附近;而采用试验平均值评价时,数据主要分布在28.86%、17.19%、11.66及66.44 kPa附近,试验平均值与实测数据存在误差,而威布尔分布概率密度函数峰值均位于实测试验数据频率区间内,与实测数据符合较好,能够较准确地反映膨胀土的液限、塑限、塑性指数及膨胀力等指标数据的分布规律。因此,综上分析可知,对于膨胀土的含水率指标宜采用与对数正态分布概率密度峰值对应指标值作为评价参数,对于干密度和孔隙比可分别采用与正态分布和对数正态分布概率密度峰值对应指标值作为评价参数,对于液限、塑限、塑性指数及膨胀力等指标宜采用与威布尔分布概率密度峰值对应指标值作为评价参数。

4 结论

本文结合陕西安康地区某膨胀土工程实例,通过大量试验测试和数理统计方法对膨胀土主要物理力学性质指标的分布规律进行了分析,得出以下主要结论:
(1)膨胀土各指标测试数据均存在一定离散性,干密度的离散性较小,含水率的离散性较大;各指标测试数据均偏离正态分布,干密度指标偏度值最小且为右偏最接近正态分布,膨胀率指标偏度值最大且为左偏;膨胀土各指标分布形态均较为平坦。
(2)对数正态分布能够更准确地反映含水率和孔隙比的数据分布规律,正态分布可以更准确地反映干密度指标数值的分布规律,而威布尔分布可较准确地描述液限、塑限、塑性指数、膨胀率及膨胀力等指标的数据分布规律。
(3)与试验数据平均值相比较,采用分布函数概率密度峰值处参数值能更准确地反映膨胀土指标参数。含水率和孔隙比可采用对数正态分布概率密度峰值处指标值作为评价参数,干密度可采用正态分布概率密度峰值处指标值作为评价参数,液限、塑限、塑性指数及膨胀力等指标可采用威布尔分布概率密度峰值处指标值作为评价参数。

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